彻底弄懂二维树状数组
<在此感谢原创作者>
当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组.
通常对一维数组最直接的算法可以在O(1)时间内完成一次修改,但是需要O(n)时间来进行一次查询.而树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成.
一、回顾一维树状数组
假设一维数组为Ai,则与它对应的树状数组Ci是这样定义的：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
......
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
...... (1)C[t]展开以后有多少项？由下面公式计算：
int lowbit(int t){//计算c[t]展开的项数
return t&(-t);
}
C[t]展开的项数就是lowbit(t),C[t]就是从A[t]开始往左连续求lowbit(t)个数的和.
(2)修改
比如修改了A3,必须修改C3,C4,C8,C16,C32,C64…
当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，对于节点i，父节点下标 p=i+lowbit(i)
//给A[i]加上 x后，更新一系列C[j]
update(int i,int x){
while(i<=n){
c[i]=c[i]+x;
i=i+lowbit(i);
}
} (3)求数列A[]的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。
如：
Sun(1)=C[1]=A[1];
Sun(2)=C[2]=A[1]+A[2];
Sun(3)=C[3]+C[2]=A[1]+A[2]+A[3];
Sun(4)=C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
Sun(5)=C[5]+C[4];
Sun(6)=C[6]+C[4];
Sun(7)=C[7]+C[6]+C[4];
Sun(8)=C[8];
......
int Sum(int n) //求前n项的和.
{
int sum=0;
while(n>0)
{
sum+=C[n];
n=n-lowbit(n);
}
return sum;
}
lowbit(1)=1 lowbit(2)=2 lowbit(3)=1 lowbit(4)=4
lowbit(5)=1 lowbit(6)=2 lowbit(7)=1 lowbit(8)=8
lowbit(9)=1 lowbit(10)=2 lowbit(11)=1 lowbit(12)=4
lowbit(13)=1 lowbit(14)=2 lowbit(15)=1 lowbit(16)=16
lowbit(17)=1 lowbit(18)=2 lowbit(19)=1 lowbit(20)=4
lowbit(21)=1 lowbit(22)=2 lowbit(23)=1 lowbit(24)=8
lowbit(25)=1 lowbit(26)=2 lowbit(27)=1 lowbit(28)=4
lowbit(29)=1 lowbit(30)=2 lowbit(31)=1 lowbit(32)=32
lowbit(33)=1 lowbit(34)=2 lowbit(35)=1 lowbit(36)=4
lowbit(37)=1 lowbit(38)=2 lowbit(39)=1 lowbit(40)=8
lowbit(41)=1 lowbit(42)=2 lowbit(43)=1 lowbit(44)=4
lowbit(45)=1 lowbit(46)=2 lowbit(47)=1 lowbit(48)=16
lowbit(49)=1 lowbit(50)=2 lowbit(51)=1 lowbit(52)=4
lowbit(53)=1 lowbit(54)=2 lowbit(55)=1 lowbit(56)=8
lowbit(57)=1 lowbit(58)=2 lowbit(59)=1 lowbit(60)=4
lowbit(61)=1 lowbit(62)=2 lowbit(63)=1 lowbit(64)=64 二、树状数组可以扩充到二维。
问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。
一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：
C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.
例：举个例子来看看C[][]的组成。
设原始二维数组为：
A[][]={
{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
}; 那么它对应的二维树状数组C[][]呢？
记:
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组 那么：
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,...
这是A[][]第一行的一维树状数组
C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,...
这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组
C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,...
这是A[][]第三行的一维树状数组
C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,...
这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组 搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？ 仔细研究一下,会发现:
（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为：
private void Modify(int i, int j, int delta){
A[i][j]+=delta;
for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
for(int y = j; y （2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i]j的函数为
int Sum(int i, int j){
int result = 0;
for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {
for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {
result += C[x][y];
}
}
return result;
}
比如：
Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2]