P2015 二叉苹果树【树形DP】

题目描述
有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分$2$叉（就是说没有只有$1$个儿子的结点）
这棵树共有$N$个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为$1-N$,树根编号一定是$1$。
我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有$4$个树枝的树。

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。
给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

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输入格式
第$1$行$2$个数，$N$和$Q(1<=Q<=N,1<N<=100)$。
$N$表示树的结点数，$Q$表示要保留的树枝数量。接下来$N-1$行描述树枝的信息。
每行$3$个整数，前两个是它连接的结点的编号。第$3$个数是这根树枝上苹果的数量。
每根树枝上的苹果不超过$30000$个。

输出格式
一个数，最多能留住的苹果的数量。

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输入输出样例
输入
5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20

输出
21

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解题思路
这是一道树形$DP$的板子题。
$f[i][j]$表示以$i$为根节点的子树，保留$j$条树枝时的，保留的最大苹果数。
(这道题有一个隐含的条件，当某条边被保留下来时，从根节点到这条边的路径上的所有边也都必须保留下来)那么状态转移方程为：

• ’$f[dep][j]=max(f[dep][j],f[son][k]+f[dep][j-k-1]+a[son][dep]);$

dep表示当前节点，son是dep的一个子节点，
为什么是$f[dep][i-k-1]$而不是$f[dep][i-k]$？
因为保留一条边必须保留从根节点到这条边路径上的所有边，那么如果你想从uu的子节点vv的子树上留边的话，也要留下$u,v$之间的连边。

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,q,x,y,z,a[110][110],s[110][110],f[110][110],c[110],v[110];
void dfs(int dep){
	v[dep]=1;//每次循环时，给父结点一个标记，防止无限循环 
	for(int i=1;i<=c[dep];i++)
	{
		int son=s[dep][i];
		if(v[son]==1)
			continue;
		v[son]=1;
		dfs(son);
		for(int j=q;j>0;j--)//要倒序枚举因为这是01背包
		{
			for(int k=j-1;k>=0;k--)
			{
				f[dep][j]=max(f[dep][j],f[son][k]+f[dep][j-k-1]+a[son][dep]);
				// f[dep][j] 表示以 dep 为 子结点 可以选 j 条边
				// f[dep][j-K-1] 表示剩余给 son 结点的 兄弟结点（同一父节点的儿子） j-k-1 条边
				// a[son][dep] 表示 son 结点和 dep 结点之间的苹果数  
			}
		}
	}
} 
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		a[x][y]=z;
		a[y][x]=z;//不知道哪个是父，哪个是子，要双向存
		s[x][++c[x]]=y;
		s[y][++c[y]]=x;
	}
	dfs(1);
	printf("%d",f[1][q]);
	return 0;
}