Prim算法和Kruskal算法构造最小生成树

最小生成树

首先，生成树是建立在无向图中的，对于有向图，则没有生成树的概念，所以接下来讨论的图均默认为无向图。对于一个有n个点的图，最少需要n-1条边使得这n个点联通，由这n-1条边组成的子图则称为原图的生成树。一般来说，一个图的生成树并不是唯一的（除非原图本身就是一棵树）。

现在考虑带权图G，即图的边带权，则最小生成树就是在G中权值和最小的一颗生成树，显然最小生成树也不是唯一的，但是其权值唯一。有很多应用需要用到最小生成树的概念，比较直观的一个应用就是：有n个村庄，现在要在这些村庄之间修一些路，其中村庄i和村庄j之间的距离是Dij，现在要修最短的路使得所有村庄连接起来。

Kruskal算法（考虑边)

Kruskal算法同样是基于贪心策略，但是它和Prim算法不同的是，在算法过程中它并不维护一个连通的分量，而是将多个连通分量合并到一起得到一颗生成树。个人觉得Kruskal算法的思想比它算法本身要重要，能够解决很多其他问题。

算法的思想：对于n个点先把图中各边的大小按照权值由小到大的顺序排列起来。最开始各个点都是独立的，先选一个权值最小的边连起来，然后选一个次小的边权值，依次类退，直到选够n-1条边即可，条件这些边不能构成圈。

算法的证明：如果一直没有构成圈，即是每条边都是按照最小，次小的顺序，这样的话，这n-1条边的权值之和肯定可以达到最小，毋庸置疑贪婪算法绝对可保证最优解，然而他可能加边的时候可能构成圈，这是按照kruskal算法，就必须把这个边去掉，换比这个边次小的边，那么就不能保证完全的贪婪。所以有必要证明。

设T是任意一个生成树（核心：选边）。

T1是由kruskal 算法得到的边

先考虑T和T1由1条边不一样：(很重要）

T1：e i1,e i2 ,e i3,   e ik------e in-1;

T  :  ---------

e ik是第一个与T不一样的边的。

那么T肯定多了一条没在T1中的边记为e’；

既然是第一个不一样的，如果（e'大于等于e ik），自然T>T1;如果e'在（ei3到eik之间），因为T没选e'，所以推理，e1,e2,e3，e'回构成圈。所以T中不可能出现这样的e'，因为如果出现，又由于是第一个不一样的边，这意味着ei1,ei2,ei3都在T1中，会出现圈，所以不可能。

在依次考虑两条边不一样：

将一条边作为一个桥梁，即可得到。

缺点：在写程序时，要判断是否会构成圈，但很难写。所以出现了适合写程序的prim算法；

prim算法

Prim算法基于一种贪心的思想，通过局部最优策略，每次将一条边加入所构建的生成树中，加完n-1条边后，保证最后所得的生成树是整体最优的，即最小生成树。

算法思想：先找一个权值最小的边，然后以这两个边的端点，寻找所有与之相连的边，找权值最小，然后以这三个点为端点在找与之相连的最小的权值的边，不断加进来，直到加完n-1条边为止。

加边时，可把前面的边和点看成一个树，树的内部是不能连线（加边），可以缩成一个点，加边相当于树的生长，在外部加边。也是一种贪婪算法。

他避免了圈的形成。