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文章目录
- 高楼落球
- 题目描述
- 问题说明
- 解题思路
- 代码
- 后记
- 金币分配
- 题目描述
- 解题思路
- 代码
- 后记
- 导语
高楼落球
题目描述
⚠ 警告：高空抛物会危及他人生命，并将使你面临受指控的风险。请不要高空抛物。
这也是一道特别经典的题：一百层楼和两个玻璃小球的问题。为了严谨地描述问题，题目描述会异常地长。
现有一栋一百层的高楼及两个一模一样的易碎的玻璃球。存在正整数 n ≤ 100 n \leq 100 n≤100，使得下面的描述成立：
从第 n n n 层楼将球扔下，球会破碎；从第 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 层楼将球扔下，球不会破碎。
你不知道 n n n 的值是多少。你能确保楼下无人路过，并将通过动手实验来求出它的值。你可以在任意的楼层扔下球，然后得知球是否破碎。未破碎的球可以从任意的楼层再次扔下；已破碎的球无法再扔。从任意楼层扔下一个球并得知球是否破碎的过程称为一次“测试”。
你将设计一个通用的计划，这个计划包含恒定次数的、有限次数的测试，不论 n n n 的值是多少，这个计划总是能求出 n n n 的值。
求解：符合条件的计划所包含的测试次数的最小值 m m m。
问题说明
这里以一个球及三层楼为例，进一步说明问题。
如果只有一个球和三层楼，显然应该先在第1层测试，然后是第2层，最后是第3层。假设小球在第1层测试之后就碎了，你也因此求得了 n n n 的值，你实际上只做了一次测试，实验就可以停止了。但是你的计划是“先在第1层测试，然后是第2层，最后是第3层”。所以你的计划所包含的测试次数是3次，而不是1次。
可以证明，如果减少上述计划中的测试次数，那么就存在符合条件的 n n n，使得这个计划无法确定 n n n 的值。比如说，如果你的计划是“先在第2层测试，然后是第3层”，这个计划所包含的测试次数是2次，但是当 n = 1 n=1 n=1 时，这个计划无法确定出 n = 1 n=1 n=1。
解题思路
设 h = f ( m , b ) h=f(m, b) h=f(m,b)，其中 m m m 为一个计划的测试次数， h h h 为这个计划可以解决的问题的楼的最大高度， b b b 为球的数量。即，用 b b b 个球做 m m m 次测试的计划，可以解决最多 h h h 层楼的问题。
直接考虑两个球的情况似乎太难了。先考虑 b = 1 b=1 b=1 的情况。因为只有一个球，所以只能从第1层楼开始测试，一层一层楼向上走、扔球做测试。所以
f ( m , 1 ) = m f(m,1)=m f(m,1)=m
然后再考虑 b = 2 b=2 b=2，测试次数为 m m m 的情况。
先将第一个球从第 t t t 层楼扔下：
a）如果第一个球碎了，那么剩下的测试次数为 m − 1 m-1 m−1，剩下的球的数量为 1 1 1。因此
f ( m , 2 ) ≥ f ( m − 1 , 1 ) f(m,2) \geq f(m-1,1) f(m,2)≥f(m−1,1)
这种情况下，第二个球只能是从第1层开始逐层向上测试。所以第二个球所能测试的楼层范围应为 [ 1 , f ( m − 1 , 1 ) ] \left[1,\;\; f(m-1,1)\right] [1,f(m−1,1)] 。
b）如果第一个球没碎，则可以将第 t t t 层视为“第0层”，剩下的测试次数为 m − 1 m-1 m−1，剩下的球的数量为 2 2 2。因此
f ( m , 2 ) ≥ t + f ( m − 1 , 2 ) f(m,2) \geq t+f(m-1,2) f(m,2)≥t+f(m−1,2)
这种情况下，后续测试所能测试的楼层范围应为 [ t + 1 , t + f ( m − 1 , 2 ) ] \left[t+1, \;\; t+f(m-1,2)\right] [t+1,t+f(m−1,2)] 。
如果我们令
t = f ( m − 1 , 1 ) + 1 t = f(m-1,1)+1 t=f(m−1,1)+1
那么上述两种情况对应的后续的可测试楼层的区间就是相邻的，即上述情况对应的后续的可测试楼层的范围为
[ 1 , 1 + f ( m − 1 , 1 ) + f ( m − 1 , 2 ) ] \left[1, \;\;1+f(m-1,1)+f(m-1,2)\right] [1,1+f(m−1,1)+f(m−1,2)]。即
f ( m , 2 ) = 1 + f ( m − 1 , 1 ) + f ( m − 1 , 2 ) . . . . . . ( 1 ) f(m,2)=1+f(m-1,1)+f(m-1,2) \;\;......\;\;(1) f(m,2)=1+f(m−1,1)+f(m−1,2)......(1)
又有
f ( m , 1 ) = m . . . . . . ( 2 ) f(m,1)=m \;\;......\;\;(2) f(m,1)=m......(2)
f ( 1 , b ) = 1 . . . . . . ( 3 ) f(1,b)=1 \;\;......\;\;(3) f(1,b)=1......(3)
利用 (1)(2)(3) 式，可以得出 f ( m , 2 ) f(m,2) f(m,2) 的通项公式。
原题转化为求下列不等式的最小整数解：
f ( m , 2 ) ≥ 100 f(m,2)\geq 100 f(m,2)≥100
(1) 式的推导过程也可以迁移到多于两个球的情形。可以得到
f ( m , b ) = 1 + f ( m − 1 , b − 1 ) + f ( m − 1 , b ) f(m,b)=1+f(m-1,b-1)+f(m-1,b) f(m,b)=1+f(m−1,b−1)+f(m−1,b)
有这样的递推公式，就可以通过动态规划求解。 f ( m , b ) f(m,b) f(m,b) 实际上是关于 m m m 的 b b b 次多项式，所以 h = f ( m , b ) = Θ ( m b ) h=f(m,b)=\Theta(m^b) h=f(m,b)=Θ(mb)。空间复杂度最低可以为 Θ ( h 1 / b ) \Theta(h ^{1/b}) Θ(h1/b)：使用一个长度为楼层数的数组，在不断增大 b b b 的同时，更新这个数组即可。时间复杂度为 Θ ( b h 1 / b ) \Theta(b\,h ^{1/b}) Θ(bh1/b)。
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代码
printf("14\n");
后记
具体答案是多少不重要。这题的解题思想也是先从最简单的子问题（一个球或者一层楼）开始考虑的。其实上面的推导过程对更多的球也是类似的，可以得出这类问题的通解。虽然上面的题解是用数学方法算出了通项公式，但是这种“先解决规模较小的子问题”的思想对动态规划题是十分重要的。
另外，题解也没有直接设 m m m 等于什么什么东西。而是换了一个角度，研究“一定的测试次数和一定数量的球能解决什么规模的问题”。这种问题转化的思想很妙。
所以要学好数学啊。
金币分配
题目描述
这是一道十分经典又简单的题目，你甚至可以口算出来。
五个海盗分配 100 枚金币。他们依次提出分配方案。如果有超过一半（不含一半，计其本人）的人同意这个方案，那么这个方案有效，分配将按这个方案进行；否则方案无效。提出无效方案的人会被杀掉，然后由下一个人提出方案。
他们五个人中每个人都比你们学校的年级第一聪明。他们每个人都想在保住性命的前提下取得尽可能多的金币。因为他们太聪明了，所以第一个人提出了最佳的有效方案。
求解：第一个人提出的最佳方案。如果有多种可能的方案，输出其中一种。
解题思路
直接考虑五个人的情况似乎太难了。
只剩4号和5号的情况：只要5号不同意，4号就一定会死，然后5号必定能得100金币。因此4号必定不会让人数减少到两人。
只剩3、4、5号的情况：因为4号必定不会让人数减少到两人，所以4号必定同意3号的方案。因此，若由3号来分配，3、4、5号分别会得到100、0、0枚金币。
只剩2、3、4、5号的情况：只要2号死掉，3号就可以得到100金币；而2号不死掉，也不可能给3号多于100的金币。所以2号没法争取到3号的同意。2号只能争取4、5号的同意。2号可以思考一下3号的最佳分配方案（3、4、5号分别得100、0、0），他只要给2、3、4、5号分别分配98、0、1、1枚金币即可。因为如果4或者5号不同意，他们连1枚金币都拿不到。这样做，2号就花了最少的钱收买了足够的人。
5个人都在的情况：类比四个人的情况，只要1号给出的金币比2号给出的多1枚，1号就能得到一个人的同意。所以1号只要思考一下2号的最佳分配方案（2、3、4、5号分别得98、0、1、1），找出2号的分配方案中得利最少的2个人，然后收买那两个人，剩下的留给自己就行了。因此1号的分配方案是97、0、1、2、0。这样，3、4号都会同意1号的方案。如果他们不同意1号，由2号分配时，他们得到的金币会少1枚。（97、0、1、0、2也是可以的）
当人数足够多（多于三个）时，要求得最佳分配方案，只需要考虑下一个人的最佳分配方案。找出下一个人的最佳分配方案中获益最小的若干个人，然后拿出更多的金币收买他们就行了。这就是这类问题的通解，可以用动态规划来做。每次都要找出获益最小的若干个人，因此要排序，时间复杂度为 Θ ( n 2 log n ) \Theta(n^{2} \log{n}) Θ(n2logn)。只需要一个长度为总人数的数组来记录中间过程、另一个数组用于排序，所以空间复杂度为 Θ ( n ) \Theta(n) Θ(n)。
代码
printf("97 0 1 2 0\n");
后记
从人数较少的时候开始思考会简单很多。这就是由规模较小的子问题推及规模更大的问题的过程。
导语
介绍两道动态规划的题。
这两道题的参数实际上已经固定了，这两题也可以完全不用动态规划。但如果题目中的参数可变，动态规划应该是最好的解决方案。
这里面的解题思想对于我这样的菜鸡来说太重要，所以记录下来。