【蓝桥杯】算法提高 合并石子（动态规划）（C++）

问题描述

题目链接：合并石子
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问题描述
　　在一条直线上有n堆石子，每堆有一定的数量，每次可以将两堆相邻的石子合并，合并后放在两堆的中间位置，合并的费用为两堆石子的总数。求把所有石子合并成一堆的最小花费。

输入格式
　　输入第一行包含一个整数n，表示石子的堆数。
　　接下来一行，包含n个整数，按顺序给出每堆石子的大小 。

输出格式
　　输出一个整数，表示合并的最小花费。

样例输入
5
1 2 3 4 5

样例输出
33

数据规模和约定
　　1<=n<=1000, 每堆石子至少1颗，最多10000颗。

思路分析

1.如果只有一堆石子，不需要合并，费用为0；
2.如果有两堆石子，需要一次合并，费用为两堆石子数量之和；
3.如果有三堆石子，需要两次合并，费用为第1堆和第2堆合并以及第2堆和第3堆合并费用中的较小值，加上三堆石子数量总和；
4.如果有n堆石子，需要n-1次合并，可将这些石子分为第1到第k堆和第k+1到第n堆，k从1取到n-1，两部分分别求合并费用，k取使两部分的合并费用总和最小的那个值，最后再加上所有石子数量总和，即为整体的合并费用。

因此，状态转移方程为dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]
其中，dp[i][j]表示将第i堆至第j堆的石子合并，sum[i][j]表示第i堆至第j堆石子数量总和。
其中，i，j分别表示第几堆石子，从第0堆石子个数为1，第1堆-2颗石子，第2堆-3颗石子，第3堆-4颗石子，第4堆-5颗石子。
当j-i=0时，即为只有一堆石子，花费为0；
当j-i=1时，即为有两堆石子；
当j-i=n时，即为有n+1堆石子。
因此在计算费用时最外层用j-i来作为循环变量，数据是斜着一行行求出的。

用可视化方式表示状态转移过程：

代码实现

#include 
using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f3f
int dp[1005][1005];
int a[1005];

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n-i; j++)
        {
            int jj=j+i;
            int min=INF;
            int s=0;//记录从第j到jj堆石子的总数
            for(int k=j; k<jj; k++)
            {
                s+=a[k];
                int t=dp[j][k]+dp[k+1][jj];
                if(t<min)
                {
                    min=t;//记录从第j到jj-1堆石子合并所花费的最小值
                }
            }
            s+=a[jj];//因为k的循环是从j到jj-1，因此需要加上第jj堆石子得到所有石子总和
            dp[j][jj]=min+s;
        }
    }
    cout<<dp[0][n-1];
	return 0;
}

参考文章：蓝桥杯（C++）——试题 算法提高 合并石子