回溯算法笔记，并解决N皇后问题（Python实现）

1.概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2.基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

白话：回溯法可以理解为通过选择不同的岔路口寻找目的地，一个岔路口一个岔路口的去尝试找到目的地。如果走错了路，继续返回来找到岔路口的另一条路，直到找到目的地。

3.用回溯法解题的一般步骤：

1）针对所给问题，确定问题的解空间：首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。
2）确定结点的扩展搜索规则
3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

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4. 实例：解决N皇后问题

• 问题： 在n*n格的棋盘撒上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规矩，皇后可以攻击与之处在同一行或者同一列或者同一斜线上的棋子。N皇后问题等价于在n * n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行同一列同一斜线上。

• 分析： 可以将nn的棋盘看成一个nn的表格，放置皇后Q，且需要满足两个条件

  • 条件1：同行同列不能放置两个或大于两个皇后
  • 条件2：皇后的斜线上不能存在皇后

• 解题思路及步骤：

逆推导：行值是列表的第几个元素，列值是列表元素的值
那么，可以知道，当列表中出现两个或者两个以上的相同元素时，即不满足条件1
为了提高算法效率，我们可以将不考虑限制条件和考虑条件1相结合，那么就是全排列算法

 1  2  3 4
1♛ ☐ ☐ ☐
2☐ ♛ ☐ ☐
3☐ ☐ ♛ ☐
4☐ ☐ ☐ ♛

从以上模型可得，
i,j表示行值，a[i],a[j]表示列值
|a[i]-a[j]| = |i-j|，即不满足条件2
|a[i]-a[j]| != |i-j|,即满足条件2
满足条件2，可以将满足条件1问题的所有解空间，进行条件限制，可以通过函数实现，这个函数即是剪枝函数
编程步骤：
首先定义一个列表，为素材列表[1,2,3,…,n]
定义一个列表，存储全排列的结果；对素材列表进行全排列，并存入该列表中，为全排列列表
定义一个列表，用于存储满足条件2的列表，为结果列表
根据结果列表，进行格式打印

代码实现

#全排列函数
per_result = []
def per(lst,s,e):
    if s == e:
        per_result.append(list(lst))
    else:
        for i in range(s,e):
            lst[i],lst[s] = lst[s],lst[i]#试探
            per(lst,s+1,e)#递归
            lst[i],lst[s] = lst[s],lst[i]#回溯
#剪枝函数
def shear(lst):
    result = 0
    for i in range(len(lst)):
        for j in range(i+1,len(lst)):
            if(abs(lst[j] - lst[i]) == abs(j-i)):
                result += 1
    if(result > 0):
        return True
    else:
        return False
#格式打印函数
def stamp(st):
    for i in st:
        for j in range(len(i)):
            a = ("☐"*(i[j]-1)+"♛"+"☐"*(len(i)-i[j]))
            print(a,"\t","第{}个皇后放在棋盘的第{}列".format(j+1,i[j]))
        print(" ")#负责空行
def main():
    num = eval(input("请输入皇后的个数："))
    lst = [i+1 for i in range(num)]
    per(lst,0,num)
    queen_lst = []
    for i in per_result:
        if(shear(i) == False):
            queen_lst.append(i)
    stamp(queen_lst)
    print("共{:d}种可能".format(len(queen_lst)))  
if __name__=='__main__':
    main()

输出样例：
4皇后：

8皇后：

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参考文章：
https://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html
https://blog.csdn.net/zhj_1121/article/details/103059144