动态规划——最长公共子序列

问题描述

• 给出两个字符串，求出这样的一个最长的公共子序列的长度：子序列中的每一个字符都能在两个原串中找到，而且每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。
• Sample Input

abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp

• Sample Output

4
2
0

问题分析

• 输入两个串s1，2
• 设MaxLen(i,j)表示：s1的左边i个字符形成的字串，与s2左边的j个字符形成的字串的最长公共子序列的长度(i,j从0开始算)，MaxLen(i,j)就是本题的“状态”
• 假定len1 = strlen(s1),len2 = strlen(s2)
• 那么题目就是要求MaxLen(len1,len2)
• 显然：MaxLen(n,0) = 0 (n=0…len1),MaxLen(0,n) = 0 (n=0…len2)
• 递推公式：

if(s1[i-1] == s2[j-1])//s1的最左边字符是s1[0]
	MaxLen(i,j) = MaxLen(i-1,j-1) + 1;
else
	MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j));

• 时间复杂度$\mathrm{O}(mn)$,m,n是两个字串长度
  $注：s1[i-1]!=s2[j-1]时，$
  $MaxLen(s1,s2)不会比MaxLen(s1,s{2}_{j-1}))和MaxLen(s{1}_{i-1},s2)两者之中任何一个小，也不会比两者都大。$

代码示例：

#include
#include
using namespace std;
char sz1[1000];
char sz2[1000];
int maxLen[1000][1000];
int main(){
	while( cin >> sz1 >> sz2){
		int length1 = strlen(sz1);
		int length2 = strlen(sz2);
		int nTemp;
		int i,j;
		for(i = 0; i <= length; i++)
			maxLen[i][0] = 0;
		for(j = 0; j <= length2; j++)
			maxLen[0][j] = 0;
		for(i = 1; i <= length1; i++)
			for(j = 1; j <= length2; j++){
				if(sz1[i-1] == sz2[j-1])
					maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1;
				else
					maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1], maxLen[i-1][j]);
			}
		cout << maxLen[length1][length2] << endl;
	}
	return 0;
}

运行示例

注：文中问题及代码参考 MOOC——《程序设计与算法》（北京大学 郭炜）

• 算法系列目录：
  • 一、递归形式的问题
    • 汉诺塔问题（Hanoi)
    • N皇后问题
    • 逆波兰表达式
    • 四则运算表达式求值
    • 爬楼梯
    • 放苹果
    • 算24
  • 二、程序或算法的时间复杂度
  • 三、二分算法
    • 二分查找
    • 二分法求方程的根
    • 寻找指定和的整数对
  • 四、分治算法
    • 归并排序、快速排序
    • 输出前m大的数
    • 求排列的逆序数
    • 求最大子数组
  • 五、动态规划
    • 数字三角形
    • 最长公共子序列