多阶段决策问题——DAG（算法竞赛入门经典笔记）
多阶段决策问题——DAG
本文为算法竞赛入门经典第九章第三节的笔记（刘汝佳. 算法竞赛入门经典.第2版[M]. 清华大学出版社, 2014.）
多阶段决策问题：每作一次决策就可以得到解的一部分，当所有决策做完之后，所有的解就“浮出水面”了。
多段图的最短路
单向TSP问题：
给定一个n*m的数字表格，找到一条从左到右的路径，使得上面的数字和最小。输出字典序最小的行号路径（每次可以从（i，j），走到（i，j+1），（i+1，j），（i-1，j）循环无限延伸没有边界）
思路：使用DAG上动态规划问题的基本思路。
1. 读入数据
for(int i=0;ifor(int j=0;jcin >> tsp[i][j];
}
} - 使用记忆化搜索的方法
int dp(int i,int j){
int& ans=dtsp[i][j];
if(ytsp[i][j])
return ans;
if(j >= n-1){
ans=tsp[i][j];
ytsp[i][j]=1;
return ans;
}
int mmin,next3[3];
next3[0]=(i-1+m)%m;
next3[1]=i;
next3[2]=(i+1)%m;
sort(next3,next3+3);
ans=min(tsp[i][j]+dp(next3[0],j+1),tsp[i][j]+dp(next3[1],j+1))+1;
for(int ii=0;ii<3;ii++){
if(tsp[i][j]+dp(next3[ii],j+1) < ans){
ans=tsp[i][j]+dp(next3[ii],j+1);
retsp[i][j]=next3[ii];
}
}
ytsp[i][j]=1;
return ans;
}- 打印输出字典序最小的策略
int eend = min(dtsp[0][0],dtsp[1][0])+1;
int cur;
for(int i=0;i
if(dtsp[i][0] < eend){
eend=dtsp[i][0];
cur=i;
}
}
cout << cur+1 ;
for(int i=0;i
cur = retsp[cur][i];
cout << " " << cur+1;
} 完整程序：
#define LOCAL
#include for(int j=0;jcin >> tsp[i][j];
}
}
for(int i=0;i0);
}
int eend = min(dtsp[0][0],dtsp[1][0])+1;
int cur;
for(int i=0;iif(dtsp[i][0] < eend){
eend=dtsp[i][0];
cur=i;
}
}
cout << cur+1 ;
for(int i=0;i1;i++){
cur = retsp[cur][i];
cout << " " << cur+1;
}
cout << endl;
cout<< eend << endl;
}
return 0;
} 0-1背包问题
物品无限的背包问题，和硬币问题一样，只需把无权图改成有权图即可。
物品有限的背包问题
只是凭“剩余体积”无法得知每个物品是否已经用过。
引入“阶段”，算法设计为：用 d(i,j) 表示当前在第 i 层，背包剩余容量为 j 时接下来的最大重量和。即为从 (i,j) 节点出发的最长路径。则
d(i,j)=max{d(i+1,j),d(i+1,j−V[i])+W[i]}
当 d(i,j)==d(i+1,j) 的时候就是说 j 小于 i 以后的任何物品的容量，也就是说 j 容量装不下其他物品了。
即在这种情况下，最多的层数就是物品的种类数 n 。
通俗一点， d(i,j) 表示“把第 i ， i+1 ， i+2 ， … ， n 个物品装到容量为 j 的背包中的最大总重量”。
样例：
6
61
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2（第一行表示物品种类，之后一行表示背包最大容量，之后第一列表示重量，第二列表示容量，最后）。
输出：
3100完整程序（使用递推法）：
#define LOCAL
#include 递推法的 i 必须逆序枚举。
使用记忆化搜索的方法
每种物品有装在背包里和不装在背包里两种选择。可以算作一个二叉树。
全部代码：
#define LOCAL
#include 边读入边计算：
#define LOCAL
#include 也可以使用另外一种对称的状态定义：用 f(i,j) 表示“把前 i 个物品装到容量为 j 的背包中的最大总重量”。即为从 (i,j) 节点出发的最长路径。则
f(i,j)=max{f(i−1,j),f(i−1,j−V[i])+W[i]}
使用滚动数组减少内存开销：
#define LOCAL
#include 个人觉得递推法比记忆化搜索方法似乎至少多算了一倍的工作。