【java】背包问题

部分背包问题

有n个物体，第i个物体的重量为wi，价值为vi。在总重量不超过C的情况下让总价值尽量高。每一个物体都可以之取走一部分，价值和重量按比例计算。

分析：贪心法即可求得最优解。贪心策略是优先拿“价值除以重量的值”最大的，直到重量和正好为C。

先输入物品个数n以及背包总重量c，之后输入每个物品的重量及价值，输出选取的物品以及该物品的比例，最后输出最大的总价值。每个物品按输入顺序从1到n编号。

样例输入：

7 56
14 67
45 66
34 61
22 44
9 10
11 44
22 33

样例输出：

1 100%
6 100%
4 100%
3 0.26%
171

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

class Node implements Comparable{
	int index;
	int weight;
	int value;
	Node(int index,int weight,int value){
		this.index=index;
		this.weight=weight;
		this.value=value;
	}
	public int compareTo(Node node) {
		double t1=(double)this.value/this.weight;
		double t2=(double)node.value/node.weight;
		if(t1t2)
			return -1;
		else
			return 0;
	}
}
public class Main {

	public static void main(String[] args){
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		while(scanner.hasNext())
		{
			int n=scanner.nextInt();
			int c=scanner.nextInt();
			Node[] nodes=new Node[n];
			for(int i=0;i0;i++){
				if(nodes[i].weight<=c){
					System.out.println(nodes[i].index+" 100%");
					sum+=nodes[i].value;
					c-=nodes[i].weight;
				}else{
					double d=(double)c/nodes[i].weight;
					System.out.println(nodes[i].index+" "+String.format("%.2f",d)+"%");
					sum+=(nodes[i].value*d);
					break;
				}
			}
			System.out.println(sum);
		}
		scanner.close();
	}
}

无限背包问题

有n种物品，每种均有无限多个。第i种物品的体积为Vi，重量为Wi。选一些物品装到一个容量为C的背包中，使得背包内物品在总体积不超过C的前提下重量尽量大。1≤n≤100,1≤Vi≤C≤10000,1≤Wi≤10^6。

分析：本质上类似硬币问题，只是增加了一个新的属性重量，相当于无权图变成了带权图。只要把硬币问题中的"+1"变成"+W[i]"即可。在硬币问题中，状态终点是d[0]=0，我们用-INF代表某个状态无解，相应地该状态加上1个硬币之后仍是无解状态；在无限背包问题中，状态终点是d[0]=0,d[x|x

先输入物品个数n以及最大体积c，之后输入每个物品的体积及重量，输出最大的重量，以及包内的物品。每个物品按输入顺序从1到n编号。

样例输入：

7 56
14 67
45 66
34 61
22 44
9 10
11 44
22 33

样例输出：

268
1
1
1
1

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void print(int s,int[] v,int[] d,int[] w){
		for(int i=0;i=0&&d[s]-d[s-v[i]]==w[i]){
				System.out.println(i+1);
				print(s-v[i],v,d,w);
				break;
			}
		}
	}
	public static void main(String[] args){
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		while(scanner.hasNext())
		{
			int n=scanner.nextInt();
			int s=scanner.nextInt();
			int[] v=new int[n];
			int[] w=new int[n];
			for(int i=0;i=v[j]){
						if(max[i-v[j]]+w[j]>max[i])
							max[i]=max[i-v[j]]+w[j];
					}
				}
			}
			System.out.println(max[s]);
			print(s,v,max,w);
		}
		scanner.close();
	}
}

0-1背包问题

有n种物品，每种只有一个。第i种物品的体积为Vi，重量为Wi。选一些物品装到一个容量为C的背包中，使得背包内物品在总体积不超过C的前提下重量尽量大。1≤n≤100,1≤Vi≤C≤10000,1≤Wi≤10^6。

分析：在无限背包问题中，对于当前状态d[c]，已知当前“剩余体积”c，就可以知道能到达当前状态的所有可能状态d[c-v[i]]，而在0-1背包问题中，仅凭当前“剩余体积”无法确定每个物品是否已经被选中，即状态转移变乱了，为此，我们需要多加入一个状态来使状态转移有序化。设d(i,j)表示“把前i个物品装到容量为j的背包中的最大总重量”，则它的状态转移方程为：d(i,j)=max{d(i-1,j),d(i-1,j-V[j])+W[i]}。

相比之下，0-1背包问题求解过程是：d(1,0)→ d(1,1)→ d(1,2)→ ......→ d(1,c)→ d(2,0)→ d(2,1)→ ......→ d(2,c)→......→ ....d(n,0)→d(n,1)→....d(n,c-1)→d(n,c)  。状态终点是d(0,x)=0,......最终解就是d(n,c)。

可以看出，0-1背包问题多了一个决策阶段，事实上，0-1背包问题是典型的多阶段决策问题。

先输入物品个数n以及最大体积c，之后输入每个物品的体积及重量，输出最大的重量，以及包内的物品。每个物品按输入顺序从1到n编号。

样例输入：

4 10
2 5
3 4
5 9
4 6

7 56
14 67
45 66
34 61
22 44
9 10
11 44
22 33

样例输出：

18

121

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args){
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		while(scanner.hasNext())
		{
			int n=scanner.nextInt();
			int s=scanner.nextInt();
			int[] v=new int[n+1];
			int[] w=new int[n+1];
			for(int i=1;i<=n;i++){
				v[i]=scanner.nextInt();
				w[i]=scanner.nextInt();
			}
			int[][] max=new int[n+1][s+1];
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=0;j<=s;j++){
					if(i>0&&j>=v[i]){
						if(max[i-1][j-v[i]]+w[i]>max[i-1][j])
							max[i][j]=max[i-1][j-v[i]]+w[i];
						else
							max[i][j]=max[i-1][j];
					}
				}
			System.out.println(max[n][s]);
		}
		scanner.close();
	}
}