复数与相位(旋转)

在信号与系统中，我们经常会遇到对于一个信号 s(t)=cos(ωt+θ) ，乘上一个复数 ejϕ ，即 s(t)∗ejϕ 表示对原信号 s(t) 移动相位 ϕ 。
那么如何理解乘上一个 ejϕ 可以表示相位的移动呢？

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这里需要用到欧拉公式，具体可以参看我另外一篇博文：欧拉公式

cos(ωt+(θ+ϕ))=Re{ej(ωt+(θ+ϕ))}=Re{ej(ωt+θ)ejϕ}

可以看到，在原信号上叠加一个相位 ϕ 相当于在原信号上乘以一个复数 ejϕ ，注意这里信号是取的实部。

更进一步，我们在几何上解释一下复数与相位(旋转)的关系。
如下图所示，横坐标为实部，纵坐标为虚部，有两个单位向量 a,b ，其中 a=ejθ ，那么向量 b 该如何表示呢？

由欧拉公式 ejθ=cos(θ)+jsin(θ) ，则 a 可以表示为 (cos(θ), sin(θ)) ，这个我们从图中也可以很轻松的得到。由图中的角度关系，我们可以得到 b=(cos(θ+ϕ), sin(θ+ϕ)) ，写成复数形式，即 b=ejθejϕ=ej(θ+ϕ) 。可以很明显的看到，对向量 a 乘上一个 ejϕ 表示将 a 旋转角度 ϕ ，即相位移动 ϕ 。