多重背包问题 二进制拆分 东东与ATM

题意：

一家银行计划安装一台用于提取现金的机器。
机器能够按要求的现金量发送适当的账单。
机器使用正好N种不同的面额钞票，例如D_k，k = 1,2,…,N，并且对于每种面额D_k，机器都有n_k张钞票。
例如，
N = 3，
n_1 = 10，D_1 = 100，
n_2 = 4，D_2 = 50，
n_3 = 5，D_3 = 10
表示机器有10张面额为100的钞票、4张面额为50的钞票、5张面额为10的钞票。
东东在写一个 ATM 的程序，可根据具体金额请求机器交付现金。
注意，这个程序计算程序得出的最大现金少于或等于可以根据设备的可用票据供应有效交付的现金。

Input
程序输入来自标准输入。 输入中的每个数据集代表特定交易，其格式为：Cash N n1 D1 n2 D2 … nN DN其中0 <= Cash <= 100000是所请求的现金量，0 <= N <= 10是 纸币面额的数量，0 <= nk <= 1000是Dk面额的可用纸币的数量，1 <= Dk <= 1000，k = 1，N。 输入中的数字之间可以自由出现空格。 输入数据正确。
Output
对于每组数据，程序将在下一行中将结果打印到单独一行上的标准输出中。

Sample Input
735 3 4 125 6 5 3 350
633 4 500 30 6 100 1 5 0 1
735 0
0 3 10 100 10 50 10 10

Sample Output
735
630
0
0
Hint
第一个数据集指定一笔交易，其中请求的现金金额为 735。 机器包含3种面额的纸币：4张钞票 125、6张钞票 5和3张钞票 350。 机器可以交付所需现金的确切金额。
在第二种情况下，机器的票据供应不能满足所要求的确切现金数量。 可以交付的最大现金为 630。 请注意，在机器中组合钞票以匹配交付的现金有多种可能性。

在第三种情况下，机器是空的，没有现金交付。 在第四种情况下，请求的现金金额为 0，因此机器不交付现金。

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思路：

由于每种面额的钞票的张数给定，我们可以将每张钞票看作一个个体，那样就是普通的01背包问题，但是由于组数过多所以效率很低，所以这时候便需要采用二进制分解，例如我们将7长钞票分解成(100),(010),(001)这三组，括号里的都是二进制写法，这样的话，通过对这三组的取舍选择，可以拼凑出0到7共8个数，对于不是这么完美分解的数例如13，我们可以先将他分解成(100),(010),(001)，余下来的6单独为1组，这四组的组合同样可以拼凑出0到13的每一个数。

通过上面的二进制分组操作可以将多重背包问题转化为普通背包问题，为了节省空间消耗，采用滚动数组的方式，因为我们求大小为j的空间装前i个物品只用到了大小 <=j 的空间装i-1个物品，因此我们便可以只设立一个一维数组保存即可，注意对空间的遍历要倒序。

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代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

vector<int>c;
vector<int>w;
int f[100005];
vector<int>ww;
int cash;
int n;
int cnt;

void clear()
{
	c.clear(); w.clear(); ww.clear();
}

void binarySplit()
{
	cnt = 0;
	ww.push_back(0);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int t = c[i];
		for (int k = 1; k <= t; k <<= 1)
		{
			cnt++;
			ww.push_back(k * w[i]);
			t -= k;
		}
		if (t > 0)
		{
			cnt++;
			ww.push_back(t * w[i]);
		}
	}
}

int main()
{
	while (cin >> cash >> n)
	{
		clear();
		c = vector<int>(n + 1, 0);
		w = vector<int>(n + 1, 0);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cin >> c[i] >> w[i];

		binarySplit();
		memset(f, 0, sizeof(int) * 100005);

		for (int i = 1; i <= cnt; i++)
			for (int j = cash; j >= 0; j--)
			{
				if (j - ww[i] >= 0)f[j] = max(f[j], f[j - ww[i]] + ww[i]);
			}

		cout << f[cash] << endl;
	}
}