Power oj 2781 上决╇ф的黑科技 (任意模数NTT)

上决╇ф的黑科技

上决╇ф费尽千辛万苦，终于找到了能打败Alpha Ceph的黑科技。要启动这项黑科技，是需要大量的人力和财力的。
假设这项黑科技需要n个人，那么所需的财力计算方法如下：
1、选取这n个不同的人的一个非空集合，假设选取了x个人，那么这x个人所需的工资为$x_k$。
2、启动这个黑科技的价格，其实就是所有的方案所需工资的总和。
现在给出N和k，上决╇ф想知道，如果这项黑科技所需的人数分别为1−N时，所需的财力。

由于上决╇ф比较穷，只要求输出所需财力对$10^9+7$取模的结果。

Input
输入只包含两个整数$N,k(1\le N\le 10^5,1\le k\le 2^{31}-1)$意义与描述中相同。

Output
输出一行，N个数，用空格隔开。第i个数代表所需i个人时的总财力对$10^9+7$取模。

题解
首先根据题意,所需人数为n时
$$ans=\sum _{i=1}^n{i}^k{C}_n^i$$
我们写成
$$\begin{array}{rl}& \sum _{n=1}^N\sum _{i=1}^n{i}^k{C}_n^i\\ & \sum _{n=1}^N\sum _{i=1}^n{i}^k\frac{n!}{(n-i)!i!}\\ & \sum _{n=1}^{N}n!\sum _{i=1}^n\frac{i^k}{(n-i)!i!}\end{array}$$
太大了，只能卷积里面的
$$\sum _{i=1}^n\frac{i^k}{(n-i)!i!}$$
我们将其分成$\frac{i^k}{i!}\cdot \frac{1}{(n-i)!}$成为卷积形式$(f\ast g)(x)={\sum }_{i=1}^{n}f(x)g(x-i)$

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
//#include 

using namespace std;
#define me(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define MIN(x,y) x < y ? x : y
#define MAX(x,y) x > y ? x : y

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

const int maxn = 300005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-06;
const double PI = acos(-1);

int mod;

namespace Math {
    inline int pw(int base, int p, const int mod) {
        static int res;
        for (res = 1; p; p >>= 1, base = static_cast<long long> (base) * base % mod) if (p & 1) res = static_cast<long long> (res) * base % mod;
        return res;
    }
    inline int inv(int x, const int mod) { return pw(x, mod - 2, mod); }
}
using namespace Math;
const int mod1 = 998244353, mod2 = 1004535809, mod3 = 469762049, G = 3;
const long long mod_1_2 = static_cast<long long> (mod1) * mod2;
const int inv_1 = inv(mod1, mod2), inv_2 = inv(mod_1_2 % mod3, mod3);
struct Int {
    int A, B, C;
    explicit inline Int() { }
    explicit inline Int(int __num) : A(__num), B(__num), C(__num) { }
    explicit inline Int(int __A, int __B, int __C) : A(__A), B(__B), C(__C) { }
    static inline Int reduce(const Int &x) {
        return Int(x.A + (x.A >> 31 & mod1), x.B + (x.B >> 31 & mod2), x.C + (x.C >> 31 & mod3));
    }
    inline friend Int operator + (const Int &lhs, const Int &rhs) {
        return reduce(Int(lhs.A + rhs.A - mod1, lhs.B + rhs.B - mod2, lhs.C + rhs.C - mod3));
    }
    inline friend Int operator - (const Int &lhs, const Int &rhs) {
        return reduce(Int(lhs.A - rhs.A, lhs.B - rhs.B, lhs.C - rhs.C));
    }
    inline friend Int operator * (const Int &lhs, const Int &rhs) {
        return Int(static_cast<long long> (lhs.A) * rhs.A % mod1, static_cast<long long> (lhs.B) * rhs.B % mod2, static_cast<long long> (lhs.C) * rhs.C % mod3);
    }
    inline int get() {
        long long x = static_cast<long long> (B - A + mod2) % mod2 * inv_1 % mod2 * mod1 + A;
        return (static_cast<long long> (C - x % mod3 + mod3) % mod3 * inv_2 % mod3 * (mod_1_2 % mod) % mod + x) % mod;
    }
} ;

#define maxn 131072

namespace Poly {
#define N (maxn << 1)
    int lim, s, rev[N];
    Int Wn[N | 1];
    inline void init(int n) {
        s = -1, lim = 1; while (lim < n) lim <<= 1, ++s;
        for (register int i = 1; i < lim; ++i) rev[i] = rev[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << s;
        const Int t(pw(G, (mod1 - 1) / lim, mod1), pw(G, (mod2 - 1) / lim, mod2), pw(G, (mod3 - 1) / lim, mod3));
        *Wn = Int(1); for (register Int *i = Wn; i != Wn + lim; ++i) *(i + 1) = *i * t;
    }
    inline void NTT(Int *A, const int op = 1) {
        for (register int i = 1; i < lim; ++i) if (i < rev[i]) std::swap(A[i], A[rev[i]]);
        for (register int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1) {
            const int t = lim / mid >> 1;
            for (register int i = 0; i < lim; i += mid << 1) {
                for (register int j = 0; j < mid; ++j) {
                    const Int W = op ? Wn[t * j] : Wn[lim - t * j];
                    const Int X = A[i + j], Y = A[i + j + mid] * W;
                    A[i + j] = X + Y, A[i + j + mid] = X - Y;
                }
            }
        }
        if (!op) {
            const Int ilim(inv(lim, mod1), inv(lim, mod2), inv(lim, mod3));
            for (register Int *i = A; i != A + lim; ++i) *i = (*i) * ilim;
        }
    }
#undef N
}
using namespace Poly;

const int N = 1e6;
int n, k;
Int A[maxn << 1], B[maxn << 1];
ll F[N+10],Finv[N+10];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
	mod = 1e9+7;
	n++;
	F[0]=1;
	for(int i = 1; i <= N; ++i) F[i] = F[i-1]*i%mod;
	Finv[N] = pw(F[N],mod-2,mod);
    for(int i = N-1; i >= 0; --i) Finv[i] = Finv[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i = 0; i < n; ++i) A[i] = Int((int)(Finv[i]*pw(i,k,mod)%mod));
	for(int i = 0; i < n; ++i) B[i] = Int((int)Finv[i]);
    init(n+n);
    NTT(A),NTT(B);
    for(int i = 0; i < lim; ++i) A[i] = A[i]*B[i];
    NTT(A,0);
    for(int i = 1; i < n; ++i) 
        printf("%lld%c",(ll)A[i].get()%mod*F[i]%mod,i == n-1 ? '\n' : ' ');
    return 0;
}

/*

*/