计算几何-通过叉积判断向量旋转方向

简明结论

先简单给出结论，我们考虑二维向量 $x=(a,b),y=(c,d)$ ， 若

• $x\times y:=a\times d-b\times c==0$ , 则 两向量共线
• $x\times y:=a\times d-b\times c>0$, 则 $y$ 在 $x$ 左侧
• $x\times y:=a\times d-b\times c<0$, 则 $y$ 在 $x$ 右侧
  

一般结论

右手定则：掏出你的右手，四指指向 $x$ , 然后转向 $y$ ，此时你的大拇指方向就是你的叉积方向。

使用时， 可以直接认为垂直纸面向上是正值，垂直纸面向下是负值。以此可以反推旋转方向。

数学推导

如果是在三维空间中的向量叉积由下示行列式定义：

$$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_i& y_i& z_i\\ x_j& y_j& z_j\end{array}\right|$$

其中 $i,j,k$ 分别表示三个正交的方向，且其系数即结果向量各方向之值。不难发现两个向量之叉积为另一个向量。那么我们对二维向量求叉积得到的为什么是个标量呢？

事实上，在实际使用的过程中，我们考虑将原二维平面的向量视为三维向量，并且将其 $z$ 轴填充为0。 这样实质上我们将原二维空间投影到了一个三维空间中的 $z=0$ 平面。于是我们有下式：

$$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_i& y_i& 0\\ x_j& y_j& 0\end{array}\right|=0\cdot i+0\cdot j+(x_i{y}_j-x_j{y}_i)\cdot k$$

也即得到了一个沿着 $z$ 轴方向竖直向上的向量。因为这个向量再和原来的坐标轴无关，所以在二维环境下我们为了简化表述，直接将其表示为一个标量，也即文章开头结论中的两积之差。并且定义方向为上得到的是正值，方向为下得到的是负值。

为了方便记忆，引入右手定则，如第二部分所言。当你把你的桌面想象成 $z=0$ 平面时，那么就可以根据旋转方向得到叉积的正负性，从而推断旋转的方向。

值得一提的是，该叉积也等于两向量模和sin夹角之积，与点积恰好对应。数值绝对值恰好等于两向量围成三角形之面积。