向量叉积(Cross product)的几何意义及应用

向量叉积

仅在三维空间，两个向量的叉积才有定义，记作 u ^ v
定义为：
u ^ v = ||u|| ||v|| sin(θ) n
其中，θ表示u 和 v 的夹角， ||u|| 和 ||v|| 分别是向量 u和v 的模，n 则是u、v 所构成平面的法向（垂直于u、v平面的单位向量），方向由右手定则决定。

矩阵表示

叉积可以表示成如下行列式：

其中， u = (u1, u2, u3)，v = (v1, v2, v3)，i、j、k为基向量，为三维坐标系的x, y, z方向的单位向量。
这个行列式可以使用拉普拉斯在展开和萨吕法则计算。
使用拉普拉斯展开可以沿第一展开为：

使用萨吕法则可以展开为：

几何意义

根据定义可以得出，向量叉积的几何意义是以u和v为零边的平行四边形的有向面积。

应用

在计算机图形学中，向量叉乘的应用广泛。比如，判断线段的相对位置，线段相交，点在多边形内，求凸包等。

判断两条线段的相对位置

在二维平面上有两条线段，分别是AB和AC，如何通过向量叉积来确定他们的相对位置关系
点A、B、C的坐标为



首先构造两个向量AB和AC,

由于二维空间不存在叉积的定义，所以引入z轴，将向量AB、AC扩展到三维空间，可以将二位向量可看作z轴恒为0的三维向量，
那么，两个向量叉积的则可表示为：

res > 0, AC在AB的逆时针方向
res = 0, AB和AC共线
res < 0, AC在AB的顺时针方向