平衡二叉树和AVL树-代码实现
目录
一、平衡二叉树
二、计算节点的高度和平衡因子
1、计算节点高度
2、计算平衡因子
3、节点高度和平衡因子的维护
三、检查二分搜索树性质和平衡性
四、旋转操作
1、旋转操作的基本原理
2、左旋转（LL）和右旋转（RR）的实现
3、LR和RL
五、AVL树的删除
六、完整的AVL树的代码实现
七、基于AVL树的映射和集合的实现
1、基于AVL树实现的映射（Map）
2、基于AVL树实现的集合（Set）
一、平衡二叉树
为什么需要平衡二叉树？
前边我们说到过二分搜索树，二分搜索树在极端情况下会退化成一个链表，使操作复杂度下降为O(n)级别。我们需要采取一定的办法避免出现这样的退化。
AVL树是一种最早的自平衡二分搜索树结构。
满二叉树->完全二叉树->平衡二叉树
什么是平衡二叉树？
对于任意一个节点（注意非叶子节点也满足），左子树和右子树的高度差不能超过1。下边是一棵平衡二叉树：
在实际的编程过程当中，为了方便跟踪树的高度和判断树的平衡状态，通常通过计算平衡因子来表示左右子树的高度差。下图便是一棵不平衡的二叉树的示例
标注节点高度：根节点高度=左右子树中高度最高的节点高度+1；
二、计算节点的高度和平衡因子
下边我们通过代码来具体实现节点高度和平衡因子的计算
我们在原先通过Map实现的二分搜索树基础上进行修改，因为，我们实现的平衡二叉树本质上也是一棵二分搜索树。
1、计算节点高度
首先我们在节点中添加需要维护的节点高度
// 添加维护高度
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;// 维护高度
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
this.height = 1;// 叶子节点的高度为1
}
}有时候节点是不存在的，此时节点的高度值为0；为了避免对这一情况重复判断，我们封装一个私有的获取方法
// 辅助函数，获取高度值
private int getHeight(Node node) {
if (node == null) {
return 0;// 空树的高度
}
return node.height;
}2、计算平衡因子
计算平衡因子比较简单，就是计算左右子树的高度差，对此，我们设立一个私有的辅助函数
// 计算节点Node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}3、节点高度和平衡因子的维护
我们在AVL树的添加方法中维护平衡因子和节点高度，具体代码如下
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
// 维护节点高度和平衡因子
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
// 计算节点高度-更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大于1,平衡性被破坏
// 待实现逻辑
}
return node;
}三、检查二分搜索树性质和平衡性
对于平衡二叉树的检验，我们首先要判断它是不是一棵二分搜索树，然后在二分搜索树的基础上再检验二叉树的平衡性；
首先，我们利用二分搜索树的中序遍历的性质来判断二叉树是不是一棵二分搜索树——使用递归
// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
public boolean isBST() {
ArrayList keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
// 判断是不是具有顺序性
for (int i = 1; i < keys.size(); i++) {
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) {
return false;
}
}
return true;
}
private void inOrder(Node node, ArrayList keys) {
if (node == null) {
return;
}
// 对二叉树进行中序遍历-中序遍历具有顺序性
inOrder(node.left, keys);// 对左子树进行遍历
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);// 对右子树进行遍历
} 然后，我们通过计算平衡因子，来判断二叉树的平衡性
// 判断二叉树是不是一棵平衡二叉树
public boolean isBalanced() {
return isBalanced(root);
}
// 左右子树高度差超过1
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {// 空节点也是一棵平衡二叉树
return true;
}
// 当前节点的判断
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
return false;
}
// 对左右子树的判断
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}四、旋转操作
1、旋转操作的基本原理
当二叉树的平衡性被打破时，我们需要对二叉树的平衡性进行维护，对二叉树平衡性的维护我们使用旋转的操作来实现，如图，当左边的二叉树平衡性被打破时，我们需要进行右旋转操作，右旋转操作的步骤如下
（1）把 x 节点设置成新二叉树的新的根节点
（2）忽略掉 x 节点的右子树，然后把 y 节点和其的右子树作为 x 节点的新的右子树
（3）把原 x 节点的右子树作为 y 节点的左子树
完成上述操作后，二分搜索树的性质没有改变，二叉树的平衡性也得到了维护。
2、左旋转（LL）和右旋转（RR）的实现
对于左旋转和右旋转的实现逻辑，上小节的介绍中已经阐述了，总之，当我们不断向二叉树的左子树的左子树插入元素时，我们维护二叉树的平衡需要进行右旋转，反之则进行左旋转，代码实现也很简单，如下：
// 右旋转操作-此时y节点已经破环平衡
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.left;// 暂存x的左子树
// 进行右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height值-先更新y再更新x
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 左旋转
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转的过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}我们把平衡性的维护加入到添加方法中：
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
// 计算高度-更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大于1,平衡性被破坏
// 向左倾斜-右旋转
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);// 形成新的根节点
}
// 向右倾斜-左旋转
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);// 形成新的根节点
}
// ToDo ...
}
return node;
}3、LR和RL
LR：指新插入的节点是在左孩子的右侧
对于LR的情况，我们首先以X为根节点进行左旋转，转换成LL的情况，然后再根据LL的情况进行旋转
代码实现逻辑如下：
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
// 转换为LL的情况
node.left = this.leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);// 形成新的根节点
}RL：指新插入的节点是在右孩子的左侧，操作步骤同LR相似。代码实现逻辑如下：
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
// 转换为RR的情况
node.right = this.rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);// 形成新的根节点
}五、AVL树的删除
AVL树删除元素跟添加元素的逻辑是一致的，每添删除一个元素，我们需要维护以一下AVL的平衡性，具体的删除实现逻辑如下：
private Node remove(Node node, K key) {
// 二分搜索树为空
if (node == null) {
return null;
}
// 维护返回的Node,不再立即返回去，因为删除节点后可能破坏了平衡性
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) > 0) {
// 大于根节点，从右子树删除
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) < 0) {
// 小于根节点，从左子树删除
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else { // 等于根节点
// 如果左子树为空，直接用右子树来替换
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 如果右子树为空，直接用左子树替换
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
} else {
// 待删除节点左右都不为空的情况
// 先找到右子树中后继节点，然后在右子树中删除该节点
Node successor = minimum(node.right);
// 这一步是递归的调用删除最小的值-remove方法中已经有了维护自平衡的方法
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
// ------维护平衡性,跟添加元素相一致------
if (retNode == null) {// 删除节点后二叉树为空，直接返回空
return null;
}
// 计算高度-更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大于1,平衡性被破坏
// 向左倾斜-右旋转
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
return rightRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
// 向右倾斜-左旋转
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
return leftRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
// 转换为LL的情况
retNode.left = this.leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
// 转换为RR的情况
retNode.right = this.rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
}
return retNode;
}六、完整的AVL树的代码实现
综合上述代码，完整的AVL树的实现如下
public class AVLTree, V> implements Map {
// 因为要存储键值对，所以不能完全复用之前的逻辑
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;// 维护高度值
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
this.height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree() {
root = null;
size = 0;
}
// 辅助函数，获取高度值
private int getHeight(Node node) {
if (node == null) {
return 0;// 空树的高度
}
return node.height;
}
@Override
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
// 计算高度-更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大于1,平衡性被破坏
// 向左倾斜-右旋转
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);// 形成新的根节点
}
// 向右倾斜-左旋转
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);// 形成新的根节点
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
// 转换为LL的情况
node.left = this.leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);// 形成新的根节点
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
// 转换为RR的情况
node.right = this.rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);// 形成新的根节点
}
}
return node;
}
// 计算节点Node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
public boolean isBST() {
ArrayList keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
// 判断是不是具有顺序性
for (int i = 1; i < keys.size(); i++) {
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) {
return false;
}
}
return true;
}
private void inOrder(Node node, ArrayList keys) {
if (node == null) {
return;
}
// 对二叉树进行中序遍历-中序遍历具有顺序性
inOrder(node.left, keys);// 对左子树进行遍历
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);// 对右子树进行遍历
}
// 判断二叉树是不是一棵平衡二叉树
public boolean isBalanced() {
return isBalanced(root);
}
// 左右子树高度差超过1
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {// 空节点也是一棵平衡二叉树
return true;
}
// 当前节点的判断
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
return false;
}
// 对左右子树的判断
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
// 右旋转操作-此时y节点已经破环平衡
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.left;// 暂存x的左子树
// 进行右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height值-先更新y再更新x
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 左旋转
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转的过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
@Override
public boolean contains(K key) {
return getNode(root, key) != null;
}
@Override
public V get(K key) {
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
@Override
public void set(K key, V newValue) {
Node node = getNode(root, key);
if (node == null) {
throw new IllegalArgumentException(key + " is Empty !");
}
node.value = newValue;
}
@Override
public int getSize() {
return size;
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 辅助函数
private Node getNode(Node node, K key) {
if (node == null) {
return null;
}
if (key.compareTo(node.key) == 0) {
return node;
} else if (key.compareTo(node.key) < 0) {
return getNode(node.left, key);
} else {
return getNode(node.right, key);
}
}
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}
// 删除Map中任意元素
@Override
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if (node != null) {
// 删除元素
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
// 二分搜索树为空
if (node == null) {
return null;
}
// 维护返回的Node,不再立即返回去，因为删除节点后可能破坏了平衡性
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) > 0) {
// 大于根节点，从右子树删除
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) < 0) {
// 小于根节点，从左子树删除
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else { // 等于根节点
// 如果左子树为空，直接用右子树来替换
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 如果右子树为空，直接用左子树替换
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
} else {
// 待删除节点左右都不为空的情况
// 先找到右子树中后继节点，然后在右子树中删除该节点
Node successor = minimum(node.right);
// 这一步是递归的调用删除最小的值-remove方法中已经有了维护自平衡的方法
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
// ------维护平衡性,跟添加元素相一致------
if (retNode == null) {// 删除节点后二叉树为空，直接返回空
return null;
}
// 计算高度-更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大于1,平衡性被破坏
// 向左倾斜-右旋转
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
return rightRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
// 向右倾斜-左旋转
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
return leftRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
// 转换为LL的情况
retNode.left = this.leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
// 转换为RR的情况
retNode.right = this.rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);// 形成新的根节点
}
}
return retNode;
}
} 七、基于AVL树的映射和集合的实现
1、基于AVL树实现的映射（Map）
基于AVL树实现映射比较简单，就是再AVLTree外边进行了一层包装，具体实现代码如下：
public class AVLMap, V> implements Map {
// 引入avlTree
private AVLTree avl;
public AVLMap() {
avl = new AVLTree<>();
}
@Override
public void add(K key, V value) {
avl.add(key, value);
}
@Override
public V remove(K key) {
return avl.remove(key);
}
@Override
public boolean contains(K key) {
return avl.contains(key);
}
@Override
public V get(K key) {
return null;
}
@Override
public void set(K key, V newValue) {
}
@Override
public int getSize() {
return avl.getSize();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return avl.isEmpty();
}
} 2、基于AVL树实现的集合（Set）
基于AVLTree实现的集合跟基于AVLTree实现的Map逻辑是一样的，也是在AVLTree的基础上进行一下简单的包装，实现代码如下：
public class AVLSet> implements Set {
// 在集合中我们不关注value,只关注key,用到value时,设置为null
private AVLTree avl;
public AVLSet() {
avl = new AVLTree<>();
}
@Override
public void add(E e) {
avl.add(e, null);// 集合不是键值对，因此值直接传空
}
@Override
public void remove(E e) {
avl.remove(e);
}
@Override
public boolean contains(E e) {
return avl.contains(e);
}
@Override
public int getSize() {
return avl.getSize();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return avl.isEmpty();
}
}