秦九韶算法求多项式某一点处的值或导数

设法减少算法中乘法或加法的数量，是提升算法性能的方法之一。秦九韶算法就是其中的范例。
设给定多项式

p(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an(1)(1)p(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an

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求x∗x∗处的函数值p(x∗)p(x∗)

我们采用以下方法：

p(x)=(⋯(a0x+a1)x+⋯+an−1)x+anp(x)=(⋯(a0x+a1)x+⋯+an−1)x+an

它可以表示为

{b0=a0bi=bi−1x∗+ai,i=1,2,⋯,n(2)(2){b0=a0bi=bi−1x∗+ai,i=1,2,⋯,n

则bn=p(x∗)bn=p(x∗)为所求。

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求多项式p(x)p(x)在x∗x∗处的导数值p′(x∗)p′(x∗)

由（2）式得ai=bi−bi−1x∗ai=bi−bi−1x∗,代入（1）式并化简

p(x)=(x−x∗)(b0⋅xn−1+⋯+bn−2⋅x+bn−1)+bnp(x)=(x−x∗)(b0⋅xn−1+⋯+bn−2⋅x+bn−1)+bn

记 q(x)=b0⋅xn−1+⋯+bn−2⋅x+bn−1q(x)=b0⋅xn−1+⋯+bn−2⋅x+bn−1 ,则有

p(x)=(x−x∗)q(x)+p(x∗)p(x)=(x−x∗)q(x)+p(x∗)

这个实际上是 余数定理的结论
对上式求导

p′(x)=q(x)+(x−x∗)q′(x)p′(x)=q(x)+(x−x∗)q′(x)

代入 x=x∗x=x∗ 得

p′(x∗)=q(x∗)p′(x∗)=q(x∗)