Octave 线性代数 矩阵的秩与线性方程组 1

矩阵的秩的性质

• 当 且 仅当 A 是零矩阵时 (A) = 0
• 若 A 的 一个 k阶子式 ！= 0， r(A) >= k； A 的 所有 k+1阶子式 都 == 0, r(A) <= k
• r(A) = r(A’)
• r(A) <= min(m, n
• A为n阶方阵
  r(A) <= n 当且仅当 det(A) != 0 r(A) = n
• det(A) != 0 满秩阵 det(A) == 0 降秩阵

行阶梯形矩阵

• 第(k+1)行的首非零元前的非零元个数大于第k行的零元个数
• 某行没有非零元，其下所有行都为0

行最简形矩阵

首非零元全部都是1的矩阵

矩阵的秩的计算

若A~B r(A) = r(B)
计算方法就是把A经过初等运算 变成行阶梯形矩阵 非零行数就是矩阵的秩
用
rref()来将一个矩阵初等变换为行阶梯形矩阵

>> A
A =

   2   0   3   1   4
   3  -5   4   2   7
   1   5   2   0   1

>> rank(A)
ans =  2
>> rref(A)
ans =

   1.00000   0.00000   1.50000   0.50000   2.00000
   0.00000   1.00000   0.10000  -0.10000  -0.20000
   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000

矩阵的秩的计算 1

用一个满秩阵乘一个矩阵不改变矩阵的秩

>> A = [3 4 1;0 2 0;5 1 3]
A =

   3   4   1
   0   2   0
   5   1   3

>> B = [2 -1 3; 0 3 1;0 0 0]
B =

   2  -1   3
   0   3   1
   0   0   0

>> A*B
ans =

    6    9   13
    0    6    2
   10   -2   16

>> rref(A*B)
ans =

   1.00000   0.00000   1.66667
   0.00000   1.00000   0.33333
   0.00000   0.00000   0.00000

>> rank(A*B)
ans =  2
>> det(A)
ans =  8.0000
>> rank(A)
ans =  3
>> rank(B)
ans =  2

因为det(A) != 0 且 A为方阵 ∴rank(A) == 3
B为行阶梯形矩阵 ∴rank(B) == 2
∴rank(AB) = rank(B) = 2