数据结构专题——线段树

线段树

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持续更新中···

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

    #include   
    using namespace std;  

    const int maxind = 256;  
    int segTree[maxind * 4 + 10];  
    int array[maxind];   
    /* 构造函数，得到线段树 */  
    void build(int node, int begin, int end)    
    {    
        if (begin == end)    
            segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */  
        else    
        {     
            /* 递归构造左右子树 */   
            build(2*node, begin, (begin+end)/2);    
            build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);   

            /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */    
            if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])    
                segTree[node] = segTree[2 * node];    
            else    
                segTree[node] = segTree[2 * node + 1];    
        }    
    }  

    int main()  
    {  
        array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;  
        build(1, 0, 5);  
        for(int i = 1; i<=20; ++i)  
         cout<< "seg"<< i << "=" <0;  
    }   

此build构造成的树如图：

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但

    int query(int node, int begin, int end, int left, int right)    
    {   
        int p1, p2;    

        /*  查询区间和要求的区间没有交集  */  
        if (left > end || right < begin)    
            return -1;    

        /*  if the current interval is included in  */    
        /*  the query interval return segTree[node]  */  
        if (begin >= left && end <= right)    
            return segTree[node];    

        /*  compute the minimum position in the  */  
        /*  left and right part of the interval  */   
        p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);   
        p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);    

        /*  return the expect value  */   
        if (p1 == -1)    
            return p2;    
        if (p2 == -1)    
            return p1;    
        if (p1 <= p2)    
            return  p1;    
        return  p2;      
    }   

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

    void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/    
    {    

        if( begin == end )    
        {    
            segTree[node] += add;    
            return ;    
        }    
        int m = ( left + right ) >> 1;    
        if(ind <= m)    
            Updata(node * 2,left, m, ind, add);    
        else    
            Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);    
        /*回溯更新父节点*/    
        segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);     

    }   

b：区间更新（线段树中最有用的）
需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change来自dongxicheng.org

    void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/  

    {  

      if (a <= p->Left && p->Right <= b)  

      /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/  

      {  

         ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/  

         return;  

      }  

      Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/  

      int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 

      if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/  

      if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/  

      Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/  

    }  

3:主要应用

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）

二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标—min

    #include    

    using namespace std;    

    #define MAXN 100    
    #define MAXIND 256 //线段树节点个数    

    //构建线段树,目的:得到M数组.    
    void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
    {    
        if (b == e)    
            M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
        else    
        {     
            build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
            build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    

            if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
                M[node] = M[2 * node];    
            else    
                M[node] = M[2 * node + 1];    
        }    
    }    

    //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
    int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
    {    
        int p1, p2;    

        //查询区间和要求的区间没有交集    
        if (i > e || j < b)    
            return -1;    

        if (b >= i && e <= j)    
            return M[node];    

        p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
        p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    

        //return the position where the overall    
        //minimum is    
        if (p1 == -1)    
            return M[node] = p2;    
        if (p2 == -1)    
            return M[node] = p1;    
        if (A[p1] <= A[p2])    
            return M[node] = p1;    
        return M[node] = p2;    

    }    


    int main()    
    {    
        int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
        memset(M,-1,sizeof(M));    
        int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
        build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
        cout<1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<return 0;    
    }    

模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

    #include     
    #include     
    using namespace std;    

    #define lson l , m , rt << 1    
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
    #define root 1 , N , 1   
    #define LL long long    
    const int maxn = 111111;    
    LL add[maxn<<2];    
    LL sum[maxn<<2];    
    void PushUp(int rt) {    
        sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
    }    
    void PushDown(int rt,int m) {    
        if (add[rt]) {    
            add[rt<<1] += add[rt];    
            add[rt<<1|1] += add[rt];    
            sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
            sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
            add[rt] = 0;    
        }    
    }    
    void build(int l,int r,int rt) {    
        add[rt] = 0;    
        if (l == r) {    
            scanf("%lld",&sum[rt]);    
            return ;    
        }    
        int m = (l + r) >> 1;    
        build(lson);    
        build(rson);    
        PushUp(rt);    
    }    
    void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
        if (L <= l && r <= R) {    
            add[rt] += c;    
            sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
            return ;    
        }    
        PushDown(rt , r - l + 1);    
        int m = (l + r) >> 1;    
        if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
        if (m < R) update(L , R , c , rson);    
        PushUp(rt);    
    }    
    LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
        if (L <= l && r <= R) {    
            return sum[rt];    
        }    
        PushDown(rt , r - l + 1);    
        int m = (l + r) >> 1;    
        LL ret = 0;    
        if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
        if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
        return ret;    
    }    
    int main() {    
        int N , Q;    
        scanf("%d%d",&N,&Q);    
        build(root);    
        while (Q --) {    
            char op[2];    
            int a , b , c;    
            scanf("%s",op);    
            if (op[0] == 'Q') {    
                scanf("%d%d",&a,&b);    
                printf("%lld\n",query(a , b ,root));    
            } else {    
                scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
                update(a , b , c , root);    
            }    
        }    
        return 0;    
    }    

模板3：

多维空间的动态查询

三：练习题目

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

hdu1166 敌兵布阵
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

    #include  
    #include  

    #define M 50005  
    #define lson l,m,rt<<1  
    #define rson m+1,r,rt<<1|1  
    /*left,right,root,middle*/  

    int sum[M<<2];  

    inline void PushPlus(int rt)  
    {  
        sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    }  

    void Build(int l, int r, int rt)  
    {  
        if(l == r)  
        {  
            scanf("%d", &sum[rt]);  
            return ;  
        }  
        int m = ( l + r )>>1;  

        Build(lson);  
        Build(rson);  
        PushPlus(rt);  
    }  

    void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)  
    {  

        if( l == r )  
        {  
            sum[rt] += add;  
            return ;  
        }  
        int m = ( l + r ) >> 1;  
        if(p <= m)  
            Updata(p, add, lson);  
        else  
            Updata(p, add, rson);  

        PushPlus(rt);  
    }  

    int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)  
    {  
        if( L <= l && r <= R )  
        {  
            return sum[rt];  
        }  
        int m = ( l + r ) >> 1;  
        int ans=0;  
        if(L<=m )  
            ans+=Query(L,R,lson);  
        if(R>m)  
            ans+=Query(L,R,rson);  

        return ans;  
    }  
    int main()  
    {     
        int T, n, a, b;  
        scanf("%d",&T);  
        for( int i = 1; i <= T; ++i )  
        {  
            printf("Case %d:\n",i);  
            scanf("%d",&n);  
            Build(1,n,1);  

            char op[10];  

            while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )  
            {  

                scanf("%d %d", &a, &b);  
                if(op[0] == 'Q')  
                    printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));  
                else if(op[0] == 'S')  
                    Updata(a,-b,1,n,1);  
                else  
                    Updata(a,b,1,n,1);  

            }  
        }  
        return 0;  
    }  

hdu1754 I Hate It
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:单点替换 query:区间最值

    #include   
    #include   
    using namespace std;  

    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    const int maxn = 222222;  
    int MAX[maxn<<2];  
    void PushUP(int rt) {  
        MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
    }  
    void build(int l,int r,int rt) {  
        if (l == r) {  
            scanf("%d",&MAX[rt]);  
            return ;  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        build(lson);  
        build(rson);  
        PushUP(rt);  
    }  
    void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {  
        if (l == r) {  
            MAX[rt] = sc;  
            return ;  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (p <= m) update(p , sc , lson);  
        else update(p , sc , rson);  
        PushUP(rt);  
    }  
    int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            return MAX[rt];  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        int ret = 0;  
        if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));  
        if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));  
        return ret;  
    }  
    int main() {  
        int n , m;  
        while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {  
            build(1 , n , 1);  
            while (m --) {  
                char op[2];  
                int a , b;  
                scanf("%s%d%d",op,&a,&b);  
                if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));  
                else update(a , b , 1 , n , 1);  
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

hdu1394 Minimum Inversion Number
题意:求Inversion后的最小逆序数
思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

    #include   
    #include   
    using namespace std;  

    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    const int maxn = 5555;  
    int sum[maxn<<2];  
    void PushUP(int rt) {  
        sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    }  
    void build(int l,int r,int rt) {  
        sum[rt] = 0;  
        if (l == r) return ;  
        int m = (l + r) >> 1;  
        build(lson);  
        build(rson);  
    }  
    void update(int p,int l,int r,int rt) {  
        if (l == r) {  
            sum[rt] ++;  
            return ;  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (p <= m) update(p , lson);  
        else update(p , rson);  
        PushUP(rt);  
    }  
    int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            return sum[rt];  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        int ret = 0;  
        if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
        if (R > m) ret += query(L , R , rson);  
        return ret;  
    }  
    int x[maxn];  
    int main() {  
        int n;  
        while (~scanf("%d",&n)) {  
            build(0 , n - 1 , 1);  
            int sum = 0;  
            for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
                scanf("%d",&x[i]);  
                sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);  
                update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);  
            }  
            int ret = sum;  
            for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
                sum += n - x[i] - x[i] - 1;  
                ret = min(ret , sum);  
            }  
            printf("%d\n",ret);  
        }  
        return 0;  
    }  

hdu2795 Billboard
题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子
思路:每次找到最大值的位子,然后减去L
线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)
[cpp] view plain copy

    #include   
    #include   
    using namespace std;  

    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    const int maxn = 222222;  
    int h , w , n;  
    int MAX[maxn<<2];  
    void PushUP(int rt) {  
        MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
    }  
    void build(int l,int r,int rt) {  
        MAX[rt] = w;  
        if (l == r) return ;  
        int m = (l + r) >> 1;  
        build(lson);  
        build(rson);  
    }  
    int query(int x,int l,int r,int rt) {  
        if (l == r) {  
            MAX[rt] -= x;  
            return l;  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);  
        PushUP(rt);  
        return ret;  
    }  
    int main() {  
        while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {  
            if (h > n) h = n;  
            build(1 , h , 1);  
            while (n --) {  
                int x;  
                scanf("%d",&x);  
                if (MAX[1] < x) puts("-1");  
                else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1));  
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候
hdu1698 Just a Hook
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)

    #include   
    #include   
    using namespace std;  

    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    const int maxn = 111111;  
    int h , w , n;  
    int col[maxn<<2];  
    int sum[maxn<<2];  
    void PushUp(int rt) {  
        sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    }  
    void PushDown(int rt,int m) {  
        if (col[rt]) {  
            col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
            sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];  
            sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];  
            col[rt] = 0;  
        }  
    }  
    void build(int l,int r,int rt) {  
        col[rt] = 0;  
        sum[rt] = 1;  
        if (l == r) return ;  
        int m = (l + r) >> 1;  
        build(lson);  
        build(rson);  
        PushUp(rt);  
    }  
    void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            col[rt] = c;  
            sum[rt] = c * (r - l + 1);  
            return ;  
        }  
        PushDown(rt , r - l + 1);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
        if (R > m) update(L , R , c , rson);  
        PushUp(rt);  
    }  
    int main() {  
        int T , n , m;  
        scanf("%d",&T);  
        for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {  
            scanf("%d%d",&n,&m);  
            build(1 , n , 1);  
            while (m --) {  
                int a , b , c;  
                scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
                update(a , b , c , 1 , n , 1);  
            }  
            printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]);  
        }  
        return 0;  
    }  

poj3468 A Simple Problem with Integers
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段增减 query:区间求和

    #include   
    #include   
    using namespace std;  

    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    #define LL long long  
    const int maxn = 111111;  
    LL add[maxn<<2];  
    LL sum[maxn<<2];  
    void PushUp(int rt) {  
        sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    }  
    void PushDown(int rt,int m) {  
        if (add[rt]) {  
            add[rt<<1] += add[rt];  
            add[rt<<1|1] += add[rt];  
            sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));  
            sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);  
            add[rt] = 0;  
        }  
    }  
    void build(int l,int r,int rt) {  
        add[rt] = 0;  
        if (l == r) {  
            scanf("%lld",&sum[rt]);  
            return ;  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        build(lson);  
        build(rson);  
        PushUp(rt);  
    }  
    void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            add[rt] += c;  
            sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);  
            return ;  
        }  
        PushDown(rt , r - l + 1);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
        if (m < R) update(L , R , c , rson);  
        PushUp(rt);  
    }  
    LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            return sum[rt];  
        }  
        PushDown(rt , r - l + 1);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        LL ret = 0;  
        if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
        if (m < R) ret += query(L , R , rson);  
        return ret;  
    }  
    int main() {  
        int N , Q;  
        scanf("%d%d",&N,&Q);  
        build(1 , N , 1);  
        while (Q --) {  
            char op[2];  
            int a , b , c;  
            scanf("%s",op);  
            if (op[0] == 'Q') {  
                scanf("%d%d",&a,&b);  
                printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1));  
            } else {  
                scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
                update(a , b , c , 1 , N , 1);  
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

poj2528 Mayor’s posters
题意:在墙上贴海报,海报可以互相覆盖,问最后可以看见几张海报
思路:这题数据范围很大,直接搞超时+超内存,需要离散化:
离散化简单的来说就是只取我们需要的值来用,比如说区间[1000,2000],[1990,2012] 我们用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]这些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就够了,将其分别映射到0,1,2,3,在于复杂度就大大的降下来了
所以离散化要保存所有需要用到的值,排序后,分别映射到1~n,这样复杂度就会小很多很多
而这题的难点在于每个数字其实表示的是一个单位长度(并非一个点),这样普通的离散化会造成许多错误(包括我以前的代码,poj这题数据奇弱)
给出下面两个简单的例子应该能体现普通离散化的缺陷:
例子一:1-10 1-4 5-10
例子二:1-10 1-4 6-10
普通离散化后都变成了[1,4][1,2][3,4]
线段2覆盖了[1,2],线段3覆盖了[3,4],那么线段1是否被完全覆盖掉了呢?
例子一是完全被覆盖掉了,而例子二没有被覆盖

为了解决这种缺陷,我们可以在排序后的数组上加些处理,比如说[1,2,6,10]
如果相邻数字间距大于1的话,在其中加上任意一个数字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然后再做线段树就好了.
线段树功能:update:成段替换 query:简单hash

    #include   
    #include   
    #include   
    using namespace std;  
    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  

    const int maxn = 11111;  
    bool hash[maxn];  
    int li[maxn] , ri[maxn];  
    int X[maxn*3];  
    int col[maxn<<4];  
    int cnt;  

    void PushDown(int rt) {  
        if (col[rt] != -1) {  
            col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
            col[rt] = -1;  
        }  
    }  
    void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            col[rt] = c;  
            return ;  
        }  
        PushDown(rt);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
        if (m < R) update(L , R , c , rson);  
    }  
    void query(int l,int r,int rt) {  
        if (col[rt] != -1) {  
            if (!hash[col[rt]]) cnt ++;  
            hash[ col[rt] ] = true;  
            return ;  
        }  
        if (l == r) return ;  
        int m = (l + r) >> 1;  
        query(lson);  
        query(rson);  
    }  
    int Bin(int key,int n,int X[]) {  
        int l = 0 , r = n - 1;  
        while (l <= r) {  
            int m = (l + r) >> 1;  
            if (X[m] == key) return m;  
            if (X[m] < key) l = m + 1;  
            else r = m - 1;  
        }  
        return -1;  
    }  
    int main() {  
        int T , n;  
        scanf("%d",&T);  
        while (T --) {  
            scanf("%d",&n);  
            int nn = 0;  
            for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
                scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);  
                X[nn++] = li[i];  
                X[nn++] = ri[i];  
            }  
            sort(X , X + nn);  
            int m = 1;  
            for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {  
                if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];  
            }  
            for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {  
                if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;  
            }  
            sort(X , X + m);  
            memset(col , -1 , sizeof(col));  
            for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
                int l = Bin(li[i] , m , X);  
                int r = Bin(ri[i] , m , X);  
                update(l , r , i , 0 , m , 1);  
            }  
            cnt = 0;  
            memset(hash , false , sizeof(hash));  
            query(0 , m , 1);  
            printf("%d\n",cnt);  
        }  
        return 0;  
    }  

poj3225 Help with Intervals
题意:区间操作,交,并,补等
思路:
我们一个一个操作来分析:(用0和1表示是否包含区间,-1表示该区间内既有包含又有不包含)
U:把区间[l,r]覆盖成1
I:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0
D:把区间[l,r]覆盖成0
C:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0 , 且[l,r]区间0/1互换
S:[l,r]区间0/1互换

成段覆盖的操作很简单,比较特殊的就是区间0/1互换这个操作,我们可以称之为异或操作
很明显我们可以知道这个性质:当一个区间被覆盖后,不管之前有没有异或标记都没有意义了
重点内容所以当一个节点得到覆盖标记时把异或标记清空
而当一个节点得到异或标记的时候,先判断覆盖标记,如果是0或1,直接改变一下覆盖标记,不然的话改变异或标记

开区间闭区间只要数字乘以2就可以处理(偶数表示端点,奇数表示两端点间的区间)
线段树功能:update:成段替换,区间异或 query:简单hash

    #include   
    #include   
    #include   
    #include   
    using namespace std;  
    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  

    const int maxn = 131072;  
    bool hash[maxn+1];  
    int cover[maxn<<2];  
    int XOR[maxn<<2];  
    void FXOR(int rt) {  
        if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;  
        else XOR[rt] ^= 1;  
    }  
    void PushDown(int rt) {  
        if (cover[rt] != -1) {  
            cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
            XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;  
            cover[rt] = -1;  
        }  
        if (XOR[rt]) {  
            FXOR(rt<<1);  
            FXOR(rt<<1|1);  
            XOR[rt] = 0;  
        }  
    }  
    void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            if (op == 'U') {  
                cover[rt] = 1;  
                XOR[rt] = 0;  
            } else if (op == 'D') {  
                cover[rt] = 0;  
                XOR[rt] = 0;  
            } else if (op == 'C' || op == 'S') {  
                FXOR(rt);  
            }  
            return ;  
        }  
        PushDown(rt);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (L <= m) update(op , L , R , lson);  
        else if (op == 'I' || op == 'C') {  
            XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;  
        }  
        if (m < R) update(op , L , R , rson);  
        else if (op == 'I' || op == 'C') {  
            XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;  
        }  
    }  
    void query(int l,int r,int rt) {  
        if (cover[rt] == 1) {  
            for (int it = l ; it <= r ; it ++) {  
                hash[it] = true;  
            }  
            return ;  
        } else if (cover[rt] == 0) return ;  
        if (l == r) return ;  
        PushDown(rt);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        query(lson);  
        query(rson);  
    }  
    int main() {  
        cover[1] = XOR[1] = 0;  
        char op , l , r;  
        int a , b;  
        while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c\n",&op , &l , &a , &b , &r) ) {  
            a <<= 1 , b <<= 1;  
            if (l == '(') a ++;  
            if (r == ')') b --;  
            if (a > b) {  
                if (op == 'C' || op == 'I') {  
                    cover[1] = XOR[1] = 0;  
                }  
            } else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);  
        }  
        query(0 , maxn , 1);  
        bool flag = false;  
        int s = -1 , e;  
        for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {  
            if (hash[i]) {  
                if (s == -1) s = i;  
                e = i;  
            } else {  
                if (s != -1) {  
                    if (flag) printf(" ");  
                    flag = true;  
                    printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');  
                    s = -1;  
                }  
            }  
        }  
        if (!flag) printf("empty set");  
        puts("");  
        return 0;  
    }  

练习
poj1436 Horizontally Visible Segments
poj2991 Crane
Another LCIS
Bracket Sequence

区间合并
这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并
poj3667 Hotel
题意:1 a:询问是不是有连续长度为a的空房间,有的话住进最左边
2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空
思路:记录区间中最长的空房间
线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点

    #include   
    #include   
    #include   
    #include   
    using namespace std;  
    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  

    const int maxn = 55555;  
    int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];  
    int cover[maxn<<2];  

    void PushDown(int rt,int m) {  
        if (cover[rt] != -1) {  
            cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
            msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);  
            msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);  
            cover[rt] = -1;  
        }  
    }  
    void PushUp(int rt,int m) {  
        lsum[rt] = lsum[rt<<1];  
        rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];  
        if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];  
        if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];  
        msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));  
    }  
    void build(int l,int r,int rt) {  
        msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;  
        cover[rt] = -1;  
        if (l == r) return ;  
        int m = (l + r) >> 1;  
        build(lson);  
        build(rson);  
    }  
    void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;  
            cover[rt] = c;  
            return ;  
        }  
        PushDown(rt , r - l + 1);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
        if (m < R) update(L , R , c , rson);  
        PushUp(rt , r - l + 1);  
    }  
    int query(int w,int l,int r,int rt) {  
        if (l == r) return l;  
        PushDown(rt , r - l + 1);  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);  
        else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;  
        return query(w , rson);  
    }  
    int main() {  
        int n , m;  
        scanf("%d%d",&n,&m);  
        build(1 , n , 1);  
        while (m --) {  
            int op , a , b;  
            scanf("%d",&op);  
            if (op == 1) {  
                scanf("%d",&a);  
                if (msum[1] < a) puts("0");  
                else {  
                    int p = query(a , 1 , n , 1);  
                    printf("%d\n",p);  
                    update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);  
                }  
            } else {  
                scanf("%d%d",&a,&b);  
                update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);  
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

练习
hdu3308 LCIS
hdu3397 Sequence operation
hdu2871 Memory Control
hdu1540 Tunnel Warfare
CF46-D Parking Lot

扫描线
这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去
最典型的就是矩形面积并,周长并等题

hdu1542 Atlantis
题意:矩形面积并
思路:浮点数先要离散化;然后把矩形分成两条边,上边和下边,对横轴建树,然后从下到上扫描上去,用cnt表示该区间下边比上边多几个,sum代表该区间内被覆盖的线段的长度总和
这里线段树的一个结点并非是线段的一个端点,而是该端点和下一个端点间的线段,所以题目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值

    #include   
    #include   
    #include   
    #include   
    using namespace std;  
    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  

    const int maxn = 2222;  
    int cnt[maxn << 2];  
    double sum[maxn << 2];  
    double X[maxn];  
    struct Seg {  
        double h , l , r;  
        int s;  
        Seg(){}  
        Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
        bool operator < (const Seg &cmp) const {  
            return h < cmp.h;  
        }  
    }ss[maxn];  
    void PushUp(int rt,int l,int r) {  
        if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];  
        else if (l == r) sum[rt] = 0;  
        else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    }  
    void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            cnt[rt] += c;  
            PushUp(rt , l , r);  
            return ;  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
        if (m < R) update(L , R , c , rson);  
        PushUp(rt , l , r);  
    }  
    int Bin(double key,int n,double X[]) {  
        int l = 0 , r = n - 1;  
        while (l <= r) {  
            int m = (l + r) >> 1;  
            if (X[m] == key) return m;  
            if (X[m] < key) l = m + 1;  
            else r = m - 1;  
        }  
        return -1;  
    }  
    int main() {  
        int n , cas = 1;  
        while (~scanf("%d",&n) && n) {  
            int m = 0;  
            while (n --) {  
                double a , b , c , d;  
                scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);  
                X[m] = a;  
                ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
                X[m] = c;  
                ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
            }  
            sort(X , X + m);  
            sort(ss , ss + m);  
            int k = 1;  
            for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {  
                if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];  
            }  
            memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));  
            memset(sum , 0 , sizeof(sum));  
            double ret = 0;  
            for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {  
                int l = Bin(ss[i].l , k , X);  
                int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;  
                if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);  
                ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
            }  
            printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",cas++ , ret);  
        }  
        return 0;  
    }  

hdu1828 Picture
题意:矩形周长并
思路:与面积不同的地方是还要记录竖的边有几个(numseg记录),并且当边界重合的时候需要合并(用lbd和rbd表示边界来辅助)
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值

    #include   
    #include   
    #include   
    #include   
    using namespace std;  
    #define lson l , m , rt << 1  
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  

    const int maxn = 22222;  
    struct Seg{  
        int l , r , h , s;  
        Seg() {}  
        Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
        bool operator < (const Seg &cmp) const {  
            if (h == cmp.h) return s > cmp.s;  
            return h < cmp.h;  
        }  
    }ss[maxn];  
    bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];  
    int numseg[maxn<<2];  
    int cnt[maxn<<2];  
    int len[maxn<<2];  
    void PushUP(int rt,int l,int r) {  
        if (cnt[rt]) {  
            lbd[rt] = rbd[rt] = 1;  
            len[rt] = r - l + 1;  
            numseg[rt] = 2;  
        } else if (l == r) {  
            len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;  
        } else {  
            lbd[rt] = lbd[rt<<1];  
            rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];  
            len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];  
            numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];  
            if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//两条线重合  
        }  
    }  
    void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
        if (L <= l && r <= R) {  
            cnt[rt] += c;  
            PushUP(rt , l , r);  
            return ;  
        }  
        int m = (l + r) >> 1;  
        if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
        if (m < R) update(L , R , c , rson);  
        PushUP(rt , l , r);  
    }  
    int main() {  
        int n;  
        while (~scanf("%d",&n)) {  
            int m = 0;  
            int lbd = 10000, rbd = -10000;  
            for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
                int a , b , c , d;  
                scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);  
                lbd = min(lbd , a);  
                rbd = max(rbd , c);  
                ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
                ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
            }  
            sort(ss , ss + m);  
            int ret = 0 , last = 0;  
            for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {  
                if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);  
                ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
                ret += abs(len[1] - last);  
                last = len[1];  
            }  
            printf("%d\n",ret);  
        }  
        return 0;  
    }  

练习
hdu3265 Posters
hdu3642 Get The Treasury
poj2482 Stars in Your Window
poj2464 Brownie Points II
hdu3255 Farming
ural1707 Hypnotoad’s Secret
uva11983 Weird Advertisement

多颗线段树问题
此类题目主用特点是区间不连续，有一定规律间隔，用多棵树表示不同的偏移区间
hdu 4288 coder
题意：
维护一个有序数列{An}，有三种操作：
1、添加一个元素。
2、删除一个元素。
3、求数列中下标%5 = 3的值的和。
由于有删除和添加操作，所以离线离散操作，节点中cnt存储区间中有几个数，sum存储偏移和

    #include  
    #include  
    #include  
    #include  
    using namespace std;  
    const int maxn=100002;  

    #define lson l , m , rt << 1    
    #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   

    __int64 sum[maxn<<2][6];  
    int cnt[maxn << 2];  

    char op[maxn][20];  
    int a[maxn];  

    int X[maxn];  

    void PushUp(int rt)  
    {  
        cnt[rt] = cnt[rt<<1] + cnt[rt<<1|1];  

        int offset = cnt[rt<<1];  
        for(int i = 0; i < 5; ++i)  
        {  
            sum[rt][i] = sum[rt<<1][i];  
        }  
        for(int i = 0; i < 5; ++i)  
        {  
            sum[rt][(i + offset) % 5] += sum[rt<<1|1][i];  
        }  
    }  

    void Build(int l, int r, int rt)    
    {   /*此题Build完全可以用一个memset代替*/  
        cnt[rt] = 0;  
        for(int i = 0; i < 5; ++i)   sum[rt][i] = 0;  
        if( l == r ) return;  
        int m = ( l + r )>>1;      
        Build(lson);    
        Build(rson);     
    }   

    void Updata(int p, int op, int l, int r, int rt)    
    {     
        if( l == r )    
        {    
            cnt[rt] = op;   
            sum[rt][1] = op * X[l-1];   
            return ;    
        }    
        int m = ( l + r ) >> 1;    
        if(p <= m)    
            Updata(p, op, lson);    
        else    
            Updata(p, op, rson);    

        PushUp(rt);    
    }   

    int main()  
    {  
        int n;  
        while(scanf("%d", &n) != EOF)  
        {  
            int nn = 0;  
            for(int i = 0; i < n; ++i)  
            {  
                scanf("%s", &op[i]);  

                if(op[i][0] != 's')  
                {  
                    scanf("%d", &a[i]);  
                    if(op[i][0] == 'a')  
                    {  
                        X[nn++] = a[i];  
                    }  
                }  
            }  

            sort(X,X+nn);/*unique前必须sort*/  
            nn = unique(X, X + nn) - X; /*去重并得到总数*/  

            Build(1, nn, 1);  

            for(int i = 0; i < n; ++i)  
            {  
                int pos = upper_bound(X, X+nn, a[i]) - X; /* hash */   
                if(op[i][0] == 'a')  
                {  
                    Updata(pos, 1, 1, nn, 1);  
                }  
                else if(op[i][0] == 'd')  
                {  
                    Updata(pos, 0, 1, nn, 1);  
                }  
                else printf("%I64d\n",sum[1][3]);  
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

2：hdu 4267 A simple problem with integers
题目：给出n个数，每次将一段区间内满足(i-l)%k==0 （r>=i>=l） 的数ai增加c, 最后单点查询。
这种题目更新的区间是零散的，如果可以通过某种方式让离散的都变得连续，那么问题就可以用线段树完美解决。解决方式一般也是固定的，那就是利用题意维护多颗线段树。此题虚维护55颗，更新最终确定在一颗上，查询则将查询点被包含的树全部叠加。

    #include  
    #include  
    #include  
    #include  
    #include  
    #include<set>  
    #include  
    #include<string>  
    #include

线段树与其他结合练习(欢迎大家补充):

hdu3954 Level up
hdu4027 Can you answer these queries?
hdu3333 Turing Tree
hdu3874 Necklace
hdu3016 Man Down
hdu3340 Rain in ACStar
zju3511 Cake Robbery
UESTC1558 Charitable Exchange
CF85-D Sum of Medians
spojGSS2 Can you answer these queries II