圆排列问题

问题

      圆排列问题：给定n个圆的半径序列，将它们放到矩形框中，各圆与矩形底边相切，求具有最小排列长度的圆排列。

解析

      首先对于这个问题，使用分支限界计算，一定会遍历所有的排列情况，剪枝就是当前的排列如果比之前的排列反而长，就会去除这种情况以及他的子结点，达到了减少时间的目的，要取得最佳答案。

      圆排列问题的解空间是一棵排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架，设开始时a=[r1,r2,……rn]是所给的n个元的半径，则相应的排列树由a[1:n]的所有排列构成。

      center函数：center计算圆在当前圆排列中的横坐标，由x^2 = sqrt((r1+r2)^2-(r1-r2)2)推导出x = 2 * sqrt(r1 * r2)。后一个圆不一定与排在它前一个位置的圆相切，其实排在任意位置的圆与其前或后的任意一个圆都有可能相切的，画个图就很清晰了。只要大小合适，目标圆就有可能与排列中的任意一个圆相切。

      compute函数：可以想象其中任意的一个圆无限大或无限小，无限大的话那其余的圆就可以统统忽略了。因为已知所有圆的x[]和r[],很容易求出每个圆的左右坐标，通过比较找出最小的左部坐标和最大的右部坐标，一减就是该圆排列的长度，然后把每次不同的排列长度相比较，找到更小的minlen就更新。

设计

backtrack(int t)
{
   if(t>n) 计算排列长度
  else
   for(int j=t;j<=n;j++)
    {
        swap(r[t],r[j]);//确定当前第t个圆的半径
       求出第t个圆选入后，排列的长度，可称之为当前排列长度
       找到界限条件，如果满足条件
         {
            入选所选的第t个圆;
            开始深入到第t+1个圆，即backtrack(t+1)
         }
      swap(r[t],r[j]); //恢复
     }   
}

分析

      如果不考虑计算当前圆排列中各圆的圆心横坐标和计算当前圆排列长度所需的计算时间按，则 Backtrack需要O(n!)计算时间。由于算法Backtrack在最坏情况下需要计算O(n!)次圆排列长度，每次计算需要O(n)计算时间，从而整个算法的计算时间复杂性为O((n+1)!)。

源码

#include
using namespace std;
const int maxn=1e4+100;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n;
double minlen,x[maxn],r[maxn],b[maxn];//排列的最短距离，圆的x坐标，圆的半径，圆最佳排列顺序。 
double center(int k){
    double t=0;
    for(int i=1;i<k;++i){
    	t=max(t,x[i]+2.0*sqrt(r[i]*r[k]));
    }
    return t;
}
void compute(){
    double l=0,h=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(x[i]-r[i]<l) {
            l=x[i]-r[i];
        }
        if(x[i]+r[i]>h){
            h=x[i]+r[i];
        }
    }
    if(h-l<minlen){
        minlen=h-l;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            b[i]=r[i];
        }
    }
}
void dfs(int k){
    if(k>n)//排列结束，计算排列长度 
        compute();
    else{
        for(int i=k;i<=n;++i) {
            swap(r[k],r[i]);//排列 
            double xx=center(k);
            if(xx+r[1]+r[k]<minlen){//剪枝 
                x[k]=xx;
                dfs(k+1);
            }
            swap(r[k],r[i]);//复原，防止下一个排列缺少情况 
        }
    }
}
int main(){
	minlen=inf; 
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&r[i]);
    dfs(1);
    printf("最短距离:%f\n",minlen);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        printf("%f%c",b[i],"\n "[i!=n]);
    }
    return 0;
}

github：https://github.com/Geedhayb/Geed/blob/master/Backtrack.cpp