hdu3007(最小覆盖圆问题)

题目：Buried memory

 

最小圆覆盖，很经典的问题。

题目大概是，平面上n个点，求一个半径最小的圆，能够覆盖所有的点。

 

如果要求一个最小覆盖圆，这个圆至少要由三个点确定。有一种算法就是任意取三个点作圆，然后判断距离圆心最远的点是否在圆

内，若在，则完成；若不在则用最远点更新这个圆。这里不仔细介绍。

 

这里介绍的算法是，先任意选取两个点，以这两个点的连线为直径作圆。再以此判断剩余的点，看它们是否都在圆内（或圆上），

如果都在，说明这个圆已经找到。如果没有都在：假设我们用的最开始的两个点为p[1],p[2]，并且找到的第一个不在圆内（或圆

上）的点为p[i]，于是我们用这个点p[i]去寻找覆盖p[1]到p[i-1]的最小覆盖圆。

 

那么，过确定点p[i]的从p[1]到p[i-1]的最小覆盖圆应该如何求呢？

我们先用p[1]和p[i]做圆，再从2到i-1判断是否有点不在这个圆上，如果都在，则说明已经找到覆盖1到i-1的圆。如果没有都

在：假设我们找到第一个不在这个圆上的点为p[j]，于是我们用两个已知点p[j]与p[i]去找覆盖1到j-1的最小覆盖圆。

而对于两个已知点p[j]与p[i]求最小覆盖圆，只要从1到j-1中，第k个点求过p[k],p[j],p[i]三个点的圆，再判断k+1到j-1

是否都在圆上，若都在，说明找到圆；若有不在的，则再用新的点p[k]更新圆即可。

于是，这个问题就被转化为若干个子问题来求解了。

由于三个点确定一个圆，我们的过程大致上做的是从没有确定点，到有一个确定点，再到有两个确定点，再到有三个确定点来求圆的工作。

关于正确性的证明以及复杂度的计算这里就不介绍了，可以去看完整的算法介绍：恩。关于细节方面。

a.通过三个点如何求圆？

   先求叉积。

   若叉积为0，即三个点在同一直线，那么找到距离最远的一对点，以它们的连线为直径做圆即可；

   若叉积不为0，即三个点不共线，那么就是第二个问题，如何求三角形的外接圆？

b.如何求三角形外接圆？

   假设三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)；

   设过(x1,y1),(x2,y2)的直线l1方程为Ax+By=C，它的中点为(midx,midy)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，l1中垂线方程为A1x+B1y=C1；则它的中垂线方程中A1=-B=x2-x1，B1=A=y2-y1,C1=-B*midx+A*midy=((x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2))/2；

   同理可以知道过(x1,y1),(x3,y3)的直线的中垂线的方程。

   于是这两条中垂线的交点就是圆心。

c.如何求两条直线交点？

   设两条直线为A1x+B1y=C1和A2x+B2y=C2。

   设一个变量det=A1*B2-A2*B1；

   如果det=0，说明两直线平行；若不等于0，则求交点：x=(B2*C1 -B1*C2)/det，y=(A1*C2-A2*C1)/det；

 

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

struct Point
{
    double x,y;
};

Point a[1005],d;
double r;

double dist(Point A,Point B)
{
    return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));
}

double cross(Point A,Point B,Point C)
{
    return (B.x-A.x)*(C.y-A.y)-(C.x-A.x)*(B.y-A.y);
}

void MiniDiscWith2Point(Point p,Point q,int n)
{
    d.x=(p.x+q.x)/2.0;
    d.y=(p.y+q.y)/2.0;
    r=dist(p,q)/2;
    int k;
    double c1,c2,t1,t2,t3;
    for(k=1;k<=n;k++)
    {
        if(dist(d,a[k])<=r) continue;
        if(cross(p,q,a[k])!=0.0)
        {
            c1=(p.x*p.x+p.y*p.y-q.x*q.x-q.y*q.y)/2.0;
            c2=(p.x*p.x+p.y*p.y-a[k].x*a[k].x-a[k].y*a[k].y)/2.0;
            d.x=(c1*(p.y-a[k].y)-c2*(p.y-q.y))/((p.x-q.x)*(p.y-a[k].y)-(p.x-a[k].x)*(p.y-q.y));
            d.y=(c1*(p.x-a[k].x)-c2*(p.x-q.x))/((p.y-q.y)*(p.x-a[k].x)-(p.y-a[k].y)*(p.x-q.x));
            r=dist(d,a[k]);
        }
        else
        {
            t1=dist(p,q);
            t2=dist(q,a[k]);
            t3=dist(p,a[k]);
            if(t1>=t2&&t1>=t3)
            {
                d.x=(p.x+q.x)/2.0;
                d.y=(p.y+q.y)/2.0;
                r=dist(p,q)/2.0;
            }
            else if(t2>=t1&&t2>=t3)
            {
                d.x=(a[k].x+q.x)/2.0;
                d.y=(a[k].y+q.y)/2.0;
                r=dist(a[k],q)/2.0;
            }
            else
            {
                d.x=(a[k].x+p.x)/2.0;
                d.y=(a[k].y+p.y)/2.0;
                r=dist(a[k],p)/2.0;
            }
        }
    }
}

void MiniDiscWithPoint(Point pi,int n)
{
    d.x=(pi.x+a[1].x)/2.0;
    d.y=(pi.y+a[1].y)/2.0;
    r=dist(pi,a[1])/2.0;
    int j;
    for(j=2;j<=n;j++)
    {
        if(dist(d,a[j])<=r) continue;
        else
        {
            MiniDiscWith2Point(pi,a[j],j-1);
        }
    }
}

int main()
{
    int i,n;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf %lf",&a[i].x,&a[i].y);
        if(n==1)
        {
            printf("%.2lf %.2lf 0.00\n",a[1].x,a[1].y);
            continue;
        }
        r=dist(a[1],a[2])/2.0;
        d.x=(a[1].x+a[2].x)/2.0;
        d.y=(a[1].y+a[2].y)/2.0;
        for(i=3;i<=n;i++)
        {
            if(dist(d,a[i])<=r)continue;
            else MiniDiscWithPoint(a[i],i-1);
        }
        printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",d.x,d.y,r);
    }
    return 0;
}