编程之美_2.5_寻找最大的k个数
题目描述：输入n个整数，输出其中最大的k个。
举例：输入序列1、2、3、4、5、6、7、8，输出最大的4个数字为5、6、7、8。
可能存在的条件限制：
要求 时间 和 空间消耗最小、海量数据、待排序的数据可能是浮点数等
方法一：对所有元素进行排序，之后取出前K个元素，不提倡使用
思路：使用最快排序算法，选择快排 或 堆排
时间复杂度：O(n*logn) + O(K) = O(n*logn)
特点：需要对全部元素进行排序，K = 1 时，时间复杂度也为O(n*logn)
注意：题中只需得到最大的K个数，而不需要对后面N-K个数排序
方法二：只需要对前K个元素排序，不需要对N-K个元素进行排序，不提倡使用
思路：使用 选择排序 或 起泡排序，进行K次选择，可得到第k大的数
时间复杂度：O(n*k)
思路：寻找第K个大元素。
具体方法：使用类似快速排序，执行一次快速排序后，每次只选择一部分继续执行快速排序，直到找到第K个大元素为止，此时这个元素在数组位置后面的元素即所求
在数组S中^^随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。
这时有两种情况：
1. Sa中元素的个数小于k，则Sb中的第k-|Sa|个元素即为第k大数；
2. Sa中元素的个数大于等于k，则返回Sa中的第k大数。时间复杂度：
若随机选取枢纽，线性期望时间O(N)
若选取数组的“中位数的中位数”作为枢纽，最坏情况下的时间复杂度O（N）
方法四、我们寻找线性查找的算法，适合数据量小的数据
思路1：寻找第K个大的元素 + 计数排序 + 数组实现
具体方法：使用计数排序，另开辟一个数组，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的 K 个。
缺点：
1、有些数没有出现过，仍要为其保留一个空间，空间浪费比较严重
2、不能处理浮点数
思路2：寻找第K个大的元素 + 计数排序 + map实现
具体方法：利用STL最后的map保存每一个元素Si出现的次数，之后从大到小扫描找到K个数
时间复杂度O(n*logn) 空间复杂度O(n)
注意：
1、可以处理浮点数
2、不能使用CMap实现，因为Cmap不能根据key自动为其排序
3、map内部是由红黑树实现的，每次插入都是logn，总的复杂度为n*logn。
这里给出两个另外的思路，他们没有计数排序 和 类快速排序好，这里仅仅为了打开思路
方法五、基数排序，不提倡使用
思路：寻找第K个大的元素 + 基数排序
一次遍历，找到最大的数为Vmax ，最小的数为Vmin
对区间[V min , V max ]分成M 块
每个小区间的跨度为d =（V max – V min ）/M
即 [V min , V min +d ], [V min + d , V min + 2d ],……
扫描一遍所有元素，统计各个小区间中的元素个数,我们可以知道第K大的元素在哪一个小区间。
然后，再对那个小区间，继续进行分块 处理。
。。。。递归下去，一直找到一个区间只含第K个数为止时间复杂度：O ( (N +M )* log2 M (|V max - V min |/delta) )
方法六、类二分查找，不提倡使用
思路：寻找第K个大的元素 + 类二分查找
while(Vmax – Vmin > delta)
{
Vmid = Vmin + (Vmax - Vmin) * 0.5;
if(f(arr,N,Vmid) >= K)
Vmin = Vmid;
else
Vmax = Vmid;
}
伪码中f（arr ,N,Vmid）返回数组arr [0, …, N-1]中大于等于Vmid的数的个数。举例
结果分析：程序运行的结果，得到一个区间（Vmin, Vmax），这个区间仅包含一个元素（或者多个相等的元素）这个元素就是第K大的元素。
注意：
1、delta的取值要比任意两个不相等的元素差值之最小值小。如果所有元素都是整数，delta可以取值0.5。
2、算法的时间复杂度O( N * log2 (|Vmax - Vmin| /delta) ) - 不知道怎么算的
方法七、我们要尽可能少的遍历所有数据。相比下，属于较好的算法，提倡使用
思路：维护一个大小为k的小根堆，堆顶元素是最大K 个数中最小的一个，即第K个元素
处理过程对于数组中的每一个元素X，判断与堆顶的大小
如果X 比堆顶小，则不需要改变原来的堆
因为这个元素比最大的K 个 数小。
如果X比堆顶大，要用X 替换堆顶的元素Y 。
调整堆的时间复杂度为O(log2K)。时间复杂度： O (N * log2 K )，算法只需要扫描所有的数据一次
空间复杂度：大小为K的数组，只需要存储一个容量为K 的堆。
注意、大多数情况下，堆可以全部载入内存。如果K 仍然很大，我们可以尝试先找最大的K ’个元素，然后找第K ’+1个到第2 * K ’
元素，如此类推（其中容量K ’的堆可以完全载入内存）。这时，每求出K’个数，就遍历一遍数据了
网友的智慧，转自July的程序员编程艺术：第三章、寻找最小的k个数
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6370650
方法八、可以直接对原数组建立大根堆，取这个优先队列前k个值。数据量小的时候可以考虑
思路：在线性时间内，能将一个无序的数组建成一个最小堆，然后取堆中的前k个数
建堆时间是O（n），每次调整时间为O(log n)
复杂度O(n)+k*O(log n)
在有优化，每次调整时不需要调整logn次了，只需调整K次，这个k 和 取第k个数是同一个数
也就是，建堆后，直接取出第一个最大值。取第一个最大值后，大根堆已经被破坏了，之后需要向下进行k次调整就好。取第2个最大值后，之后进行k-1次调整，等等。注意，每次取完值后，这个堆就不是大根堆了
原来堆的方法，每次调整l最大是logn次，调整后仍是大根堆
优化后的时间复杂度是O(n+k^2)
评价：这两个方法的时间复杂度都比维护一个大小为k的小根堆的方法好，但是后者是空间复杂度还是很好的，内存中只需维护一个大小为k堆，而其他两个方法需要把整个堆都放入内存，这对于处理海量数据效率还是不是很好啊，而且作者July还在程序验证过，其实这两种算法在时间上区别不是很大。
扩展题目<转别人的，还没有总结>
1. 如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，-1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
解答：上面的解法除了寻找第K个大的元素 + 计数排序 + 数组实现均适用
2. 如果是找第k到第m（0
解答：如果把问题看做m-k+1个第k大问题，则前面解法均适用。但是对于类似前k大这样的问题，最好使用解法5或者解法7，总体复杂度较低。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
提示：堆排序？当每一个网页权重更新的时候，更新堆。还有更好的方法吗？
解答：要达到快速的更新，我们可以解法8,(对原数组简历大根堆)，使用映射二分堆，可以使更新的操作达到O(logn)
4. 在实际应用中，还有一个“精确度”的问题。我们可能并不需要返回严格意义上的最大的K个元素，在边界位置允许出现一些误差。当用户输入一个query的时候，对于每一个文档d来说，它跟这个query之间都有一个相关性衡量权重f (query, d)。搜索引擎需要返回给用户的就是相关性权重最大的K个网页。如果每页10个网页，用户不会关心第1000页开外搜索结果的“精确度”，稍有误差是可以接受的。比如我们可以返回相关性第10 001大的网页，而不是第9999大的。在这种情况下，算法该如何改进才能更快更有效率呢？网页的数目可能大到一台机器无法容纳得下，这时怎么办呢？
提示：归并排序？如果每台机器都返回最相关的K个文档，那么所有机器上最相关K个文档的并集肯定包含全集中最相关的K个文档。由于边界情况并不需要非常精确，如果每台机器返回最好的K’个文档，那么K’应该如何取值，以达到我们返回最相关的90%*K个文档是完全精确的，或者最终返回的最相关的K个文档精确度超过90%（最相关的K个文档中90%以上在全集中相关性的确排在前K），或者最终返回的最相关的K个文档最差的相关性排序没有超出110%*K。
解答：正如提示中所说，可以让每台机器返回最相关的K'个文档，然后利用归并排序的思想，得到所有文档中最相关的K个。 最好的情况是这K个文档在所有机器中平均分布，这时每台机器只要K' = K / n （n为所有机器总数）；最坏情况，所有最相关的K个文档只出现在其中的某一台机器上，这时K'需近似等于K了。我觉得比较好的做法可以在每台机器上维护一个堆，然后对堆顶元素实行归并排序。
5. 如第4点所说，对于每个文档d，相对于不同的关键字q1, q2, …, qm，分别有相关性权重f（d, q1），f（d, q2）, …, f（d, qm）。如果用户输入关键字qi之后，我们已经获得了最相关的K个文档，而已知关键字qj跟关键字qi相似，文档跟这两个关键字的权重大小比较靠近，那么关键字qi的最相关的K个文档，对寻找qj最相关的K个文档有没有帮助呢？
解答：肯定是有帮助的。在搜索关键字qj最相关的K个文档时，可以在qj的“近义词”相关文档中搜索部分，然后在全局的所有文档中在搜索部分。