买票找零

编程之美4.3

 

题目描述:

假设有2N个人在排队买票,其中有N个人手持50元的钞票,另外有N个人手持100元的钞票,假设开始售票时,售票处没有零钱,问这2N个人有多少种排队方式,不至使售票处出现找不开钱的局面?

 

题目分析:

这题时典型的卡特兰数(Cartalan)问题

Cartalan数

令h(1)=1

h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + h(3)*h(n-3) + ....+h(n-1)*h(1)  (其中n>=2)

 

该递归求解为h(n) = C(2n, n)/(n+1)

 

 

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Catalan数


中文:卡特兰数
原理:
令h(1)=1,catalan数满足递归式:
h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
另类递归式:
h(n)=((4*n-6)/(n))*h(n-1);
该递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...)

最典型的四类应用(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了)
1.括号化问题。
矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?
(一定是二叉树!
先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n))
(能构成h(N)个)

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