密码学之数论准备知识

推荐书籍1：冯登国老师的《密码学原理与实践》(第三版)

一、一些基本概念

1.群
设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算" · "，它满足

2.交换群

3.环
设R是一个非空集合，如果在R中有两种运算 +，⋅ 满足一下条件：

在许多抽象代数课本中，第(4)条不是环定义所必须的，不过在密码学讨论的环中一般都是包含有单位元的环。

4.模m剩余类环

5.


6.欧拉函数

7.欧拉函数的一种计算公式
假定

8.乘法逆

9.带余除法

二、Euclidean算法

• Euclidean算法又称为辗转相除法，是求给定两个非负整数的最大公约数(用gcd(a,b)表示)，其中最为本质的是来源于多项式环中的带余除法
• 算法的主要步骤是令两个数中较大的数作为被除数，较小的数作为除数做带余除法，得到余数，除数和余数继续做带余除法，直到某一项中余数为0，那么商为最大公约数，换言之，是如下的一个过程。
  

#include  // std::swap for c++ before c++11
#include  // std::swap for c++ since c++11
int gcd(int a，int b)
{
    if (a < b)
        std::swap(a, b);
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

但是这里有一个问题存留就是，怎么证明算法过程是对的，也就是，为什么这么做可以求得最大公约数，需要一个严格的数学证明。
10.在上述Euclidean算法中，有如下结论



11.Bezout定理的数学版本

#include 
using namespace std;

void Extended_Euclidean_Algorithm(int a, int b)
{
    int a0 = a;
    int b0 = b;
    int t0 = 1;
    int t = 0;
    int s0 = 0;
    int s = 1;
    int q = a0 / b0;
    int r = a0 - q*b0;
    int temp = 0;
    while (r > 0)
    {
        //迭代系数t
        temp = t0 - q*t;
        t0 = t;
        t = temp;
        //迭代系数s
        temp = s0 - q*s;
        s0 = s;
        s = temp;
        //求最大公约数
        a0 = b0;
        b0 = r;
        q = a0 / b0;
        r = a0 - q*b0;
    }
    r = b0;
    cout << "最大公约数为：" << r << endl;
    cout << "s的值为：" << s << endl;
    cout << "t的值为：" << t << endl;
    cout << "sa+tb=" << s*a + t*b << endl;
}

int main()
{
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    Extended_Euclidean_Algorithm(a, b);
    system("pause");
    return 0;
}

这里面最难理解的是两个迭代系数为什么要如此进行求解，为此我们需要如下一个定理。
11.2Bezout定理的计算机版本



12.

三、中国剩余定理

13.中国剩余定理

此解由下列式子给出：

四、其他有用的结果

14.元素和群的阶数

15.Lagrange定理

16.

17.Fermat小定理


详细证明见：密码学中模运算的逆元求解
18.模p的本原元素

19.


可以迅速的确定某个素数的本原元素个数，但是如果还需要计算它们的具体值，还需要根据定义验证所有的幂次值，这在素数非常大的情况下是很难的，有没有什么更快的方法呢？
20.