【算法设计与分析】最大子段和问题

最大子段和问题的简洁描述是：对于给定序列[ x1,x2,x3...]寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如{ -1,5,-2,1,-7,-4,2,3,-1,2 }最大子段是{ 2,3,-1,2 }其和为6。这个问题可以从枚举、分治、动态规划，贪心这几个角度来解。

（1）枚举解法思路：对于数组a[n],其连续的子段有

           以a[0]开始的 , { a[0] }, { a[0],a[1] },{ a[0],a[1],a[2] }.....共n    个

           以a[1]开始的,  { a[1] }, { a[1],a[2] },{ a[1],a[2],a[3] }.....共n-1个

           ...

           以a[n]开始的，{ a[n] }共1个

           一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以使用双重循环得到一个o( n^2 )级的算法：

int MaxSum_enum(int *arr,int n)
{
	int sum = 0;
	for(int i=0; i sum)
			{	sum = thisSum;}
		}
	}
	return sum;
}

当然在需要的时候，也可以设置一个区间记录值，记录这个子段的开始位置和结束位置：

int MaxSum_enum(int *arr,int n,int &besti,int &bestj)
{
	/*besti bestj用于记录最大字段和区间[ besti...bestj ]*/
	int sum = 0;
	for(int i=0; i sum )
			{
				sum = thisSum;
				besti = i;
				bestj = j;
			}
		}	
	}
	return sum;
}

（2）分治角度的思路：

分治时，将数组划分为 [ left,mid ] 和 [ mid+1,right ] 两部分，分别求左侧区间的最大子段和，以及右边区间的最大子段和。

合并时，分为3种情况，

1.左侧区间最大子段和大于右侧区间最大子段和，且两个子段不相邻，选择左侧最大子段和

2.右侧区间最大子段和大于左侧区间最大子段和，且两个子段不相邻，选择右侧最大子段和

3.左右两个最大子段相邻，合并子段，返回两者之和

可以得到一个o(n*logn)级的算法，但代码其实是不易写正确的

（3）动态规划思路：

将每一个数是否列入当前子段作为一个决策，

1.如果加上这个数后子段和仍然大于0，那么加上这个数

2.如果加上这个数后子段和小于0，那么子段清零，下一个数作为新的子段的开始

在这个过程中记录遇到的最大子段和

int MaxSum_DP(int *arr,int n)
{
	int sum = 0;
	int tmp = 0;
	for(int i=0; i 0) {tmp += arr[i];}
		else        {tmp  = arr[i];}
		if(tmp >sum){sum  = tmp   ;}
	}
	return sum;
}

如果需要知道最大子段的位置，可以添加记录数据：

int MaxSum_DP(int *arr,int n,int &besti,int &bestj)
{
	int sum = 0;
	int tmp = 0;
	int tmp_start = 0;
	int tmp_len   = 0;
	for(int i=0;i 0 )  { tmp+= arr[i]; tmp_len++;}
		else           { tmp = arr[i]; tmp_start = i; tmp_len =  1;}
		if( tmp > sum ){ sum = tmp   ; besti=tmp_start; bestj=besti+tmp_len-1;}
	}
	return sum;
}

算法的复杂度为O(n)

（4）其实动态规划的思路也是贪心的思路，但如果用贪心思路，更加容易理解。

1.对于每一个子段，贪心地认为加下一个数之后可能更大

2.如果加下一个数没有变大，但子段和为正，贪心地认为加再下一个数之后更大

3.如果加上某个数后子段和为负，那么放弃这个子段（因为1个元素都不选，和为0也比负数大），开始一个新的子段

4.记录贪心过程中遇到的最大子段和