算法与数据结构复习 第五章 树及二叉树(详解)

文章目录

  • 第五章 树及二叉树
    • 书面作业
      • 一、判断题
      • 二、单选题
      • 三、填空题

第五章 树及二叉树

书面作业

一、判断题

1、某二叉树的前序和中序遍历序列正好一样,则该二叉树中的任何结点一定都无左孩子。 (T)

解析:

二叉树的前序是先根再左再右,中序是先左再根再右;若相同,则没有左;

2、若一个结点是某二叉树的中序遍历序列的最后一个结点,则它必是该树的前序遍历序列中的最后一个结点。(F)

解析:

中序遍历序列的最后一个结点可能是根或右子树,而前序遍历的最后一个结点可能是左子树和根;

举反例:
算法与数据结构复习 第五章 树及二叉树(详解)_第1张图片

前序遍历:1 2 3 4

中序遍历:2 1 4 3

3、将一棵完全二叉树存于数组中(根结点的下标为 1)。则下标为 23 和 24 的两个结点是兄弟。(F)

解析:

方法一:(利用完全二叉树的性质)

对于n个结点的完全二叉树tree,有如下特点:

(1)若i为奇数且i>1,那么tree的左兄弟为tree[i-1];

(2)若i为偶数且i

(3)若i>1,tree的父亲节点为tree[i div 2];(div:整除)

(4)若2 * i<=n,那么tree的左孩子为tree[2 * i];若2 * i+1<=n,那么tree的右孩子为tree[2 * i+1];

(5)若i>(n div 2),那么tree[i]为叶子结点(对应(3));

(6)若i<((n-1) div 2),那么tree[i]必有两个孩子(对应(4));

由(1)(2)可知:23为奇数,且23>1,23的左兄弟为22;

方法二:画图

4、对 N(≥2)个权值均不相同的字符构造哈夫曼树,则树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值。(T)

解析:

当用 n 个结点(都做叶子结点且都有各自的权值)试图构建一棵树时,如果构建的这棵树的带权路径长度最小,称这棵树为“最优二叉树”,有时也叫“赫夫曼树”或者“哈夫曼树”。

在构建哈弗曼树时,要使树的带权路径长度最小,只需要遵循一个原则,那就是:权重越大的结点离树根越近

哈夫曼树

5、二叉树不是树的特殊情况。(T)

解析:

树和二叉树的2个主要差别:

  1. 树中结点的最大度数没有限制,而二叉树结点的最大度数为2;
  2. 树的结点无左、右之分,而二叉树的结点有左、右之分;

注意:尽管二叉树与树有许多相似之处,但二叉树不是树的特殊情形。

6、树的后根序遍历序列等同于它所对应二叉树的中序遍历序列。(T)

解析:

一棵树的后根遍历与这棵树所对应的二叉树的中序遍历相同。因为树转化为二叉树后是没有右子树的,所以最后访问的是树的根结点。

  • 树转二叉树:

    • 树中所有相同双亲结点的兄弟结点之间加一条连线;
    • 对树中不是双亲结点的第一个孩子的结点,只保留新添加的该结点与左兄弟结点之间的连线,删去该结点与双亲结点之间的连线;
    • 整理所有保留的连线,根据连线摆放成二叉树的结构,转换完成;
  • 后根遍历过程:

    • 按照从左到右的次序后根遍历根结点的每一棵子树;
    • 访问根结点。

7、将一棵树转成二叉树,根结点没有左子树。(F)

解析:
由题6可知,没有右子树;

8、已知一棵二叉树的先序遍历结果是 ABC, 则 CAB 不可能是中序遍历结果。(T)

解析:

根据先序遍历结果,可知根结点是A,左孩子是B,右孩子是C,由此可知中序遍历的结果是BAC;

9、一棵有 124 个结点的完全二叉树,其叶结点个数是确定的。(T)

解析:
完全二叉树要按照从左到右,从上到下的规则插入元素,因此他的结构是唯一的,所以叶结点的个数是确定的;

10、对于一个有 N 个结点、K 条边的森林,不能确定它共有几棵树。(F)

解析:

设有M棵树,M={M1,M2,M3,M4…};

对于一棵树,有结论:边数=结点数-1,即v=n-1;

则有:

  • N=n1+n2+n3+n4+…

  • K=v1+v2+v3+v4+…=n1-1+n2-1+n3-1+n4-1+…=N-M

  • M=N-K

N-K是定值,可确定;

11、二叉树通常有顺序存储结构和链式存储结构。(T)

12、设只包含根结点的二叉树高度为 0,则高度为 k 的二叉树最小结点数为 k+1。 (T)、

解析:

只有一条路径的二叉树;

13、二叉树是度为 2 的树。(F)

解析:

二叉树不是树;

14、二叉树可以用二叉链表存储,树无法用二叉链表存储。(F)

15、完全二叉树中,若一个结点没有左孩子,则它必是树叶。(T)

二、单选题

1、 按照二叉树的定义,具有 3 个结点的二叉树有几种? (C )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

2、二叉树中第 5 层(根的层号为 1)上的结点个数最多为:(C )
A. 8
B. 15
C. 16
D. 32
解析:

第i层的结点数做多为: 2 i − 1 2^{i-1} 2i1

3、在一个用数组表示的完全二叉树中,如果根结点下标为 1,那么下标为 17 和 19 这两个结点的最近公共祖先结点在哪里(数组下标)? (注:两个结点的“公共祖先结点”是指同时都是这两个结点祖先的结点) (B)
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1

解析:

17的父节点为8,19的父节点为9,8和9的父节点为4;

4、设一段文本中包含 4 个对象{a,b,c,d},其出现次数相应为{4,2,5,1},则该段文本的哈夫曼编码比采用等长方式的编码节省了多少位数? (B)
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5

解析:
Huffman树构造算法:

  • 将 {ω1,ω2,…,ωn}{ω1,ω2,…,ωn}看成是有 n 棵树的森林(每棵树仅有一个节点)
  • 在森林中选出两个根节点的权值最小的树合并,作为一个新树的左右子树,且新树的根节点权值为其左右子树根节点的权值之和
  • 从森林中删除选取的两棵树,并将新树加入森林
  • 重复步骤2、3,直到森林中只剩一棵树为止,该树即为所求的Huffman树。

Huffman树

普通编码:
a:00
b:01
c:10;
d:11;
长度:2*(4+2+5+1)=24;

哈夫曼编码:

0
1
1
0
0
1
d=1
b=2
3
a=4
c=5
7
12

a:01
b:001
c:1
d:000
长度:2 * 4 + 3 * 2 + 1 * 5 + 3 * 1 = 22;

24-22=2;

5、下列线索二叉树中(用虚线表示线索),符合后序线索树定义的是: (D)
算法与数据结构复习 第五章 树及二叉树(详解)_第2张图片

解析:

  • 若结点的左子树为空,则该结点的左孩子指针指向其前驱结点。

  • 若结点的右子树为空,则该结点的右孩子指针指向其后继结点。

详解

6、已知一棵完全二叉树的第 9 层(设根为第 1 层)有 100 个叶结点,则该完全二叉树的结点
个数最多是: (B)
A. 311
B. 823
C. 1847
D. 无法确定

解析:
个数= ( 2 9 − 1 − 100 ) ∗ 2 + 2 9 − 1 = ( 256 − 100 ) ∗ 2 + 511 = 312 + 511 = 823 (2^{9-1}-100)*2+2^9-1=(256-100)*2+511=312+511=823 (291100)2+291=(256100)2+511=312+511=823

7、如果二叉树的前序遍历结果是 12345,后序遍历结果是 24531,那么该二叉树的中序遍历
结果是什么? ©
A. 23145
B. 32154
C. 21435
D. 无法确定

解析:

1
2
3
4
5

8、二叉树的中序遍历也可以循环地完成。给定循环中堆栈的操作序列如下(其中 push 为入栈,pop 为出栈):push(1), push(2), push(3), pop(), push(4), pop(), pop(), push(5), pop(),pop(), push(6), pop()以下哪句是对的?(A)
A. 3 和 5 是兄弟结点
B. 1 是 5 的父结点
C. 6 是根结点
D. 以上全不对

解析:

二叉树实现如图

1
2
3
4
5
6

9、下面的函数 PreOrderPrintLeaves(BinTree BT)按前序遍历的顺序打印出二叉树 BT 的所有叶子结点。则下列哪条表达式应被填在空中?(D)

void PreOrderPrintLeaves( BinTree BT ) { 
	if (BT) {
 		if (___________________) 
 			printf(" %d", BT->Data);
 		PreOrderPrintLeaves( BT->Left );
 		PreOrderPrintLeaves( BT->Right );
 	} 
}

A. BT->Data != 0
B. !BT->Right
C. !BT->Left
D. !(BT->Left || BT->Right)

10、树最适合于用来表示 (D)
A. 有序数据元素
B. 无序数据元素
C. 元素之间无联系的数据
D. 元素之间具有分支层次关系的数据

11、三叉树中,度为 1 的结点有 5 个,度为 2 的结点 3 个,度为 3 的结点 2 个,问该树含有几个叶结点? (A)
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
解析:

叶结点的度为0;

设叶结点的个数为X;

5 * 1 + 2 * 3 + 3 * 2 + X * 0 = 5 + 3 + 2 + X -1;

解的X=8;

12、已知一棵二叉树的树形如下图所示,其后序序列为{ e, a, c, b, d, g, f }。树中与结点 a 同
层的结点是:(B)

img

A. c
B. d
C. f
D. g

解析:

由后续遍历可得,f是根结点;左子树和右子树的个数都为3,所以 e, a, c是左子树,b, d, g是右子树;

c是左子树的根结点,g是右子树的根节点;然后再分析可得出完整的二叉树;

如图:

f
c
g
a
e
d
b

13、具有 65 个结点的完全二叉树其深度为(根的深度为 1): (B)
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

解析:

若完全二叉树为N层,则最多由 2 n − 1 2^n-1 2n1个结点;

2 6 − 1 < 65 < 2 7 − 1 2^6-1<65<2^7-1 261<65<271

深度为7;

14、已知字符集{ a, b, c, d, e, f, g, h }。若各字符的哈夫曼编码依次是 0100, 10, 0000, 0101, 001,
011, 11, 0001,则编码序列 0100011001001011110101 的译码结果是:(D)
A. acgabfh
B. adbagbb
C. afbeagd
D. afeefgd
解析:

构建哈夫曼树如图:

0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
b
g
e
f
c
h
a
d

将编码序列带如树中,得afeefgd;

15、对于一个有 N 个结点、K 条边的森林,共有几棵树? (A)
A. N−K
B. N−K+1
C. N−K−1
D. 不能确定

解析:
和判断题10类似;

16、任何一棵二叉树的叶结点在先序、中序和后序遍历序列中的相对次序 (B)
A. 发生改变
B. 不发生改变
C. 不能确定
D. 以上都不对

解析:

因为根据三个遍历的次序和特点:前序是根左右、中序是左根右、后序是左右根,因此相对次序发生变化的都是子树的根,也就是分支结点。

17、将森林转换为对应的二叉树,若在二叉树中,结点 u 是结点 v 的父结点的父结点,则在原来的森林中,u 和 v 可能具有的关系是: (B)

1 .父子关系; 2. 兄弟关系; 3. u 的父结点与 v 的父结点是兄弟关系
A. 只有 2
B. 1 和 2
C. 1 和 3
D. 1、2 和 3

解析:

u
n
m
v
u
w
v

第一种树是父子关系,第二种树是兄弟关系;

18、已知字符集{ a, b, c, d, e, f },若各字符出现的次数分别为{ 6, 3, 8, 2, 10, 4 },则对应字符集
中各字符的哈夫曼编码可能是:(A)
A. 00, 1011, 01, 1010, 11, 100
B. 00, 100, 110, 000, 0010, 01
C. 10, 1011, 11, 0011, 00, 010
D. 0011, 10, 11, 0010, 01, 000

三、填空题

1、假设二叉树的存储结构为二叉链表,在具有 n 个结点的二叉链表中(n>0),左孩子指针域和右孩子指针域的个数为( 2n),空指针域的个数为 (n+1) 。

解析:
空指针域的个数为=2n-(n-1)=n+1;

2、在含有 n 个结点的树中,边数只能是 (n-1)。

3、如果二叉树的后序遍历结果是 FDEBGCA,中序遍历结果是 FDBEACG,那么该二叉树的前序遍历结果是: (ABDFECG)。
解析:

A
B
C
D
E
G
F

4、已知一棵完全二叉树的第 5 层(设根为第 1 层)有 8 个叶结点,则该完全二叉树的结点个数最多是: (47)

解析:

( 2 5 − 1 − 8 ) ∗ 2 + 2 5 − 1 = 47 (2^{5-1} -8)*2+2^5-1=47 (2518)2+251=47

如有错误,或者某道题解析不详细,请指出;
下一节:算法与数据结构复习 第六章 图(详解)

你可能感兴趣的:(算法与数据结构)