算法与数据结构复习 第五章 树及二叉树(详解)

第五章 树及二叉树

书面作业

一、判断题

1、某二叉树的前序和中序遍历序列正好一样，则该二叉树中的任何结点一定都无左孩子。 (T)

解析：

二叉树的前序是先根再左再右，中序是先左再根再右；若相同，则没有左；

2、若一个结点是某二叉树的中序遍历序列的最后一个结点，则它必是该树的前序遍历序列中的最后一个结点。(F)

解析：

中序遍历序列的最后一个结点可能是根或右子树，而前序遍历的最后一个结点可能是左子树和根；

举反例：

前序遍历：1 2 3 4

中序遍历：2 1 4 3

3、将一棵完全二叉树存于数组中（根结点的下标为 1）。则下标为 23 和 24 的两个结点是兄弟。(F)

解析：

方法一：（利用完全二叉树的性质）

对于n个结点的完全二叉树tree，有如下特点：

（1）若i为奇数且i>1，那么tree的左兄弟为tree[i-1]；

（2）若i为偶数且i

（3）若i>1，tree的父亲节点为tree[i div 2]；(div:整除）

（4）若2 * i<=n，那么tree的左孩子为tree[2 * i]；若2 * i+1<=n，那么tree的右孩子为tree[2 * i+1]；

（5）若i>(n div 2),那么tree[i]为叶子结点（对应（3））；

（6）若i<((n-1) div 2),那么tree[i]必有两个孩子（对应（4））；

由（1）（2）可知：23为奇数，且23>1，23的左兄弟为22；

方法二：画图

4、对 N（≥2）个权值均不相同的字符构造哈夫曼树，则树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值。(T)

解析：

当用 n 个结点（都做叶子结点且都有各自的权值）试图构建一棵树时，如果构建的这棵树的带权路径长度最小，称这棵树为“最优二叉树”，有时也叫“赫夫曼树”或者“哈夫曼树”。

在构建哈弗曼树时，要使树的带权路径长度最小，只需要遵循一个原则，那就是：权重越大的结点离树根越近。

哈夫曼树

5、二叉树不是树的特殊情况。（T）

解析：

树和二叉树的2个主要差别：

1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2;
2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分;

注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。

6、树的后根序遍历序列等同于它所对应二叉树的中序遍历序列。（T）

解析：

一棵树的后根遍历与这棵树所对应的二叉树的中序遍历相同。因为树转化为二叉树后是没有右子树的，所以最后访问的是树的根结点。

• 树转二叉树：

  • 树中所有相同双亲结点的兄弟结点之间加一条连线；
  • 对树中不是双亲结点的第一个孩子的结点，只保留新添加的该结点与左兄弟结点之间的连线，删去该结点与双亲结点之间的连线；
  • 整理所有保留的连线，根据连线摆放成二叉树的结构，转换完成；

• 后根遍历过程：

  • 按照从左到右的次序后根遍历根结点的每一棵子树；
  • 访问根结点。

7、将一棵树转成二叉树，根结点没有左子树。（F）

解析：
由题6可知，没有右子树；

8、已知一棵二叉树的先序遍历结果是 ABC, 则 CAB 不可能是中序遍历结果。（T）

解析：

根据先序遍历结果，可知根结点是A，左孩子是B，右孩子是C，由此可知中序遍历的结果是BAC；

9、一棵有 124 个结点的完全二叉树，其叶结点个数是确定的。（T）

解析：
完全二叉树要按照从左到右，从上到下的规则插入元素，因此他的结构是唯一的，所以叶结点的个数是确定的；

10、对于一个有 N 个结点、K 条边的森林，不能确定它共有几棵树。（F）

解析：

设有M棵树，M={M1,M2,M3,M4…};

对于一棵树，有结论：边数=结点数-1,即v=n-1；

则有：

• N=n1+n2+n3+n4+…

• K=v1+v2+v3+v4+…=n1-1+n2-1+n3-1+n4-1+…=N-M

• M=N-K

N-K是定值，可确定；

11、二叉树通常有顺序存储结构和链式存储结构。（T）

12、设只包含根结点的二叉树高度为 0，则高度为 k 的二叉树最小结点数为 k+1。 （T）、

解析：

只有一条路径的二叉树；

13、二叉树是度为 2 的树。（F）

解析：

二叉树不是树；

14、二叉树可以用二叉链表存储，树无法用二叉链表存储。（F）

15、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是树叶。（T）

二、单选题

1、 按照二叉树的定义，具有 3 个结点的二叉树有几种？ (C )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

2、二叉树中第 5 层（根的层号为 1）上的结点个数最多为：(C )
A. 8
B. 15
C. 16
D. 32
解析：

第i层的结点数做多为：$2^{i-1}$

3、在一个用数组表示的完全二叉树中，如果根结点下标为 1，那么下标为 17 和 19 这两个结点的最近公共祖先结点在哪里（数组下标）？ （注：两个结点的“公共祖先结点”是指同时都是这两个结点祖先的结点） (B)
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1

解析：

17的父节点为8，19的父节点为9，8和9的父节点为4；

4、设一段文本中包含 4 个对象{a,b,c,d}，其出现次数相应为{4,2,5,1}，则该段文本的哈夫曼编码比采用等长方式的编码节省了多少位数？ (B)
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5

解析：
Huffman树构造算法:

• 将 {ω1,ω2,…,ωn}{ω1,ω2,…,ωn}看成是有 n 棵树的森林(每棵树仅有一个节点)
• 在森林中选出两个根节点的权值最小的树合并，作为一个新树的左右子树，且新树的根节点权值为其左右子树根节点的权值之和
• 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林
• 重复步骤2、3，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求的Huffman树。

Huffman树

普通编码：
a:00
b:01
c:10;
d:11;
长度：2*（4+2+5+1）=24；

哈夫曼编码：

0

1

1

0

0

1

d=1

b=2

3

a=4

c=5

7

12

a:01
b:001
c:1
d:000
长度：2 * 4 + 3 * 2 + 1 * 5 + 3 * 1 = 22;

24-22=2;

5、下列线索二叉树中（用虚线表示线索），符合后序线索树定义的是： (D)

解析：

• 若结点的左子树为空，则该结点的左孩子指针指向其前驱结点。

• 若结点的右子树为空，则该结点的右孩子指针指向其后继结点。

详解

6、已知一棵完全二叉树的第 9 层（设根为第 1 层）有 100 个叶结点，则该完全二叉树的结点
个数最多是： (B)
A. 311
B. 823
C. 1847
D. 无法确定

解析：
个数=$(2^{9-1}-100)\ast 2+2^9-1=(256-100)\ast 2+511=312+511=823$

7、如果二叉树的前序遍历结果是 12345，后序遍历结果是 24531，那么该二叉树的中序遍历
结果是什么？ ©
A. 23145
B. 32154
C. 21435
D. 无法确定

解析：

1

2

3

4

5

8、二叉树的中序遍历也可以循环地完成。给定循环中堆栈的操作序列如下（其中 push 为入栈，pop 为出栈）：push(1), push(2), push(3), pop(), push(4), pop(), pop(), push(5), pop(),pop(), push(6), pop()以下哪句是对的？(A)
A. 3 和 5 是兄弟结点
B. 1 是 5 的父结点
C. 6 是根结点
D. 以上全不对

解析：

二叉树实现如图

1

2

3

4

5

6

9、下面的函数 PreOrderPrintLeaves(BinTree BT)按前序遍历的顺序打印出二叉树 BT 的所有叶子结点。则下列哪条表达式应被填在空中？(D)

void PreOrderPrintLeaves( BinTree BT ) { 
	if (BT) {
 		if (___________________) 
 			printf(" %d", BT->Data);
 		PreOrderPrintLeaves( BT->Left );
 		PreOrderPrintLeaves( BT->Right );
 	} 
}

A. BT->Data != 0
B. !BT->Right
C. !BT->Left
D. !(BT->Left || BT->Right)

10、树最适合于用来表示 (D)
A. 有序数据元素
B. 无序数据元素
C. 元素之间无联系的数据
D. 元素之间具有分支层次关系的数据

11、三叉树中，度为 1 的结点有 5 个，度为 2 的结点 3 个，度为 3 的结点 2 个，问该树含有几个叶结点？ (A)
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
解析：

叶结点的度为0；

设叶结点的个数为X;

5 * 1 + 2 * 3 + 3 * 2 + X * 0 = 5 + 3 + 2 + X -1;

解的X=8;

12、已知一棵二叉树的树形如下图所示，其后序序列为{ e, a, c, b, d, g, f }。树中与结点 a 同
层的结点是：(B)

A. c
B. d
C. f
D. g

解析：

由后续遍历可得，f是根结点；左子树和右子树的个数都为3，所以 e, a, c是左子树，b, d, g是右子树；

c是左子树的根结点，g是右子树的根节点；然后再分析可得出完整的二叉树；

如图：

f

c

g

a

e

d

b

13、具有 65 个结点的完全二叉树其深度为（根的深度为 1）： (B)
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

解析：

若完全二叉树为N层，则最多由$2^n-1$个结点；

$2^6-1<65<2^7-1$

深度为7；

14、已知字符集{ a, b, c, d, e, f, g, h }。若各字符的哈夫曼编码依次是 0100, 10, 0000, 0101, 001,
011, 11, 0001，则编码序列 0100011001001011110101 的译码结果是：(D)
A. acgabfh
B. adbagbb
C. afbeagd
D. afeefgd
解析：

构建哈夫曼树如图：

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

2

3

4

5

6

7

b

g

e

f

c

h

a

d

将编码序列带如树中，得afeefgd；

15、对于一个有 N 个结点、K 条边的森林，共有几棵树？ (A)
A. N−K
B. N−K+1
C. N−K−1
D. 不能确定

解析：
和判断题10类似；

16、任何一棵二叉树的叶结点在先序、中序和后序遍历序列中的相对次序 (B)
A. 发生改变
B. 不发生改变
C. 不能确定
D. 以上都不对

解析：

因为根据三个遍历的次序和特点：前序是根左右、中序是左根右、后序是左右根,因此相对次序发生变化的都是子树的根,也就是分支结点。

17、将森林转换为对应的二叉树，若在二叉树中，结点 u 是结点 v 的父结点的父结点，则在原来的森林中，u 和 v 可能具有的关系是： (B)

1 .父子关系； 2. 兄弟关系； 3. u 的父结点与 v 的父结点是兄弟关系
A. 只有 2
B. 1 和 2
C. 1 和 3
D. 1、2 和 3

解析：

u

n

m

v

u

w

v

第一种树是父子关系，第二种树是兄弟关系；

18、已知字符集{ a, b, c, d, e, f }，若各字符出现的次数分别为{ 6, 3, 8, 2, 10, 4 }，则对应字符集
中各字符的哈夫曼编码可能是：(A)
A. 00, 1011, 01, 1010, 11, 100
B. 00, 100, 110, 000, 0010, 01
C. 10, 1011, 11, 0011, 00, 010
D. 0011, 10, 11, 0010, 01, 000

三、填空题

1、假设二叉树的存储结构为二叉链表，在具有 n 个结点的二叉链表中（n＞0），左孩子指针域和右孩子指针域的个数为( 2n)，空指针域的个数为 (n+1) 。

解析：
空指针域的个数为=2n-(n-1)=n+1;

2、在含有 n 个结点的树中，边数只能是 (n-1)。

3、如果二叉树的后序遍历结果是 FDEBGCA，中序遍历结果是 FDBEACG，那么该二叉树的前序遍历结果是： (ABDFECG)。
解析：

A

B

C

D

E

G

F

4、已知一棵完全二叉树的第 5 层（设根为第 1 层）有 8 个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是： (47)

解析：

$(2^{5-1}-8)\ast 2+2^5-1=47$

如有错误，或者某道题解析不详细，请指出；
下一节：算法与数据结构复习 第六章 图(详解)