tf.einsum—爱因斯坦求和约定
1. einsum记法
如果你像我一样，发现记住PyTorch/TensorFlow中那些计算点积、外积、转置、矩阵-向量乘法、矩阵-矩阵乘法的函数名字和签名很费劲，那么einsum记法就是我们的救星。einsum记法是一个表达以上这些运算，包括复杂张量运算在内的优雅方式，基本上，可以把einsum看成一种领域特定语言。一旦你理解并能利用einsum，除了不用记忆和频繁查找特定库函数这个好处以外，你还能够更迅速地编写更加紧凑、高效的代码。而不使用einsum的时候，容易出现引入不必要的张量变形或转置运算，以及可以省略的中间张量的现象。此外，einsum这样的领域特定语言有时可以编译到高性能代码，事实上，PyTorch最近引入的能够自动生成GPU代码并为特定输入尺寸自动调整代码的张量理解（Tensor Comprehensions）就基于类似einsum的领域特定语言。此外，可以使用opt einsum和tf einsum opt这样的项目优化einsum表达式的构造顺序。
比方说，我们想要将两个矩阵 A ϵ R I × K A\epsilon\mathbb{R}^{I\times K} AϵRI×K和 B ϵ R K × J B\epsilon\mathbb{R}^{K \times J} BϵRK×J相乘，接着计算每列的和，最终得到向量 c ϵ R J c \epsilon\mathbb{R}^J cϵRJ。使用爱因斯坦求和约定，这可以表达为：
c j = ∑ i ∑ k A i k B k j = A i k B k j c_j=\sum_i\sum_kA_{ik}B_{kj}=A_{ik}B_{kj} cj=i∑k∑AikBkj=AikBkj
这一表达式指明了 c c c中的每个元素 c i c_i ci是如何计算的，列向量 A i : A_{i:} Ai:乘以行向量 B : j B_{:j} B:j，然后求和。注意，在爱因斯坦求和约定中，我们省略了求和符号 ∑ \sum ∑，因为我们隐式地累加重复的下标（这里是k）和输出中未指明的下标（这里是i）。
在深度学习中，我经常碰到的一个问题是，变换高阶张量到向量。例如，我可能有一个张量，其中包含一个batch中的N个训练样本，每个样本是一个长度为T的K维词向量序列，我想把词向量投影到一个不同的维度Q。如果将这个张量记作 T ϵ R N × T × K T\epsilon\mathbb{R}^{N\times T\times K} TϵRN×T×K，将投影矩阵记作 W ϵ R K × Q W\epsilon\mathbb{R}^{K\times Q} WϵRK×Q，那么所需计算可以用 e i n s u m einsum einsum表达为：
C n t q = ∑ k T n t k W k q = T n t k W k q C_{ntq}=\sum_kT_{ntk}W_{kq}=T_{ntk}W_{kq} Cntq=k∑TntkWkq=TntkWkq
最后一个例子，比方说有一个四阶张量 T ϵ R N × T × K × M T\epsilon\mathbb{R}^{N\times T\times K\times M} TϵRN×T×K×M，我们想要使用之前的投影矩阵将第三维投影至 Q Q Q维，并累加第二维，然后转置结果中的第一维和最后一维，最终得到张量 C ϵ R M × Q × N C\epsilon \mathbb{R}^{M\times Q\times N} CϵRM×Q×N。einsum可以非常简洁地表达这一切：
C m q n = ∑ t ∑ k T n t k m W k q = T n t k m W k q C_{mqn}=\sum_t\sum_kT_{ntkm}W_{kq}=T_{ntkm}W_{kq} Cmqn=t∑k∑TntkmWkq=TntkmWkq
注意，我们通过交换下标n和m（Cmqn而不是Cnqm），转置了张量构造结果。
2. Numpy、PyTorch、TensorFlow中的einsum
einsum在numpy中实现为np.einsum，在PyTorch中实现为torch.einsum，在TensorFlow中实现为tf.einsum，均使用一致的签名einsum(equation, operands)，其中equation是表示爱因斯坦求和约定的字符串，而operands则是张量序列（在numpy和TensorFlow中是变长参数列表，而在PyTorch中是列表）。
例如，我们的第一个例子， c j = ∑ i ∑ k A i k B k j = A i k B k j c_j=\sum_i\sum_kA_{ik}B_{kj}=A_{ik}B_{kj} cj=i∑k∑AikBkj=AikBkj写成equation字符串就是ik,kj -> j。注意这里(i, j, k)的命名是任意的，但需要一致。
PyTorch和TensorFlow像numpy支持einsum的好处之一是einsum可以用于神经网络架构的任意计算图，并且可以反向传播。典型的einsum调用格式如下：
上式中◻是占位符，表示张量维度。上面的例子中，arg1和arg3是矩阵，arg2是二阶张量，这一einsum运算的结果（result）是矩阵。注意einsum处理的是可变数量的输入。在上面的例子中，einsum指定了三个参数之上的操作，但它同样可以用在牵涉一个参数、两个参数、三个以上参数的操作上。学习einsum的最佳途径是通过学习一些例子，所以下面我们将展示一下，在许多深度学习模型中常用的库函数，用einsum该如何表达（以PyTorch为例）。
1 矩阵转置
B j i = A i j B_{ji}=A_{ij} Bji=Aij
import torch
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->ji', [a])
tensor([[ 0., 3.],
[ 1., 4.],
[ 2., 5.]])
2 求和
b = ∑ i ∑ j A i j = A i j b=\sum_i\sum_jA_{ij}=A_{ij} b=i∑j∑Aij=Aij
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->', [a])
tensor(15.)
3 列求和
b j = ∑ i A i j = A i j b_j=\sum_iA_{ij}=A_{ij} bj=i∑Aij=Aij
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->j', [a])
tensor([ 3., 5., 7.])
4 行求和
b j = ∑ j A i j = A i j b_j=\sum_jA_{ij}=A_{ij} bj=j∑Aij=Aij
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->i', [a])
tensor([ 3., 12.])
5 矩阵-向量相乘
c i = ∑ k A i k b k = A i k b k c_i=\sum_kA_{ik}b_k=A_{ik}b_k ci=k∑Aikbk=Aikbk
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
b = torch.arange(3)
torch.einsum('ik,k->i', [a, b])
tensor([ 5., 14.])
6 矩阵-矩阵相乘
C i j = ∑ k A i k B k j = A i k B k j C_{ij}=\sum_kA_{ik}B_{kj}=A_{ik}B_{kj} Cij=k∑AikBkj=AikBkj
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
b = torch.arange(15).reshape(3, 5)
torch.einsum('ik,kj->ij', [a, b])
tensor([[ 25., 28., 31., 34., 37.],
[ 70., 82., 94., 106., 118.]])
7 点积
c = ∑ i a i b i = a i b i c=\sum_ia_ib_i=a_ib_i c=i∑aibi=aibi
a = torch.arange(3)
b = torch.arange(3,6) # [3, 4, 5]
torch.einsum('i,i->', [a, b])
tensor(14.)
8 哈达玛积
C i j = A i j B i j C_{ij}=A_{ij}B_{ij} Cij=AijBij
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
b = torch.arange(6,12).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij,ij->ij', [a, b])
tensor([[ 0., 7., 16.],
[ 27., 40., 55.]])
9 外积
C i j = a i b j C_{ij}=a_ib_j Cij=aibj
a = torch.arange(3)
b = torch.arange(3,7)
torch.einsum('i,j->ij', [a, b])
tensor([[ 0., 0., 0., 0.],
[ 3., 4., 5., 6.],
[ 6., 8., 10., 12.]])
10 batch矩阵相乘
C i j l = ∑ k A i j k B i k l = A i j k B i k l C_{ijl}=\sum_kA_{ijk}B_{ikl}=A_{ijk}B_{ikl} Cijl=k∑AijkBikl=AijkBikl
a = torch.randn(3,2,5)
b = torch.randn(3,5,3)
torch.einsum('ijk,ikl->ijl', [a, b])
tensor([[[ 1.0886, 0.0214, 1.0690],
[ 2.0626, 3.2655, -0.1465]],
[[-6.9294, 0.7499, 1.2976],
[ 4.2226, -4.5774, -4.8947]],
[[-2.4289, -0.7804, 5.1385],
[ 0.8003, 2.9425, 1.7338]]])
11 张量缩约
batch矩阵相乘是张量缩约的一个特例。比方说，我们有两个张量，一个n阶张量A ∈ ℝI1 × ⋯ × In，一个m阶张量B ∈ ℝJ1 × ⋯ × Jm。举例来说，我们取n = 4，m = 5，并假定I2 = J3且I3 = J5。我们可以将这两个张量在这两个维度上相乘（A张量的第2、3维度，B张量的3、5维度），最终得到一个新张量C ∈ ℝI1 × I4 × J1 × J2 × J4，如下所示：
C p s t u v = ∑ q ∑ r A p q r s B t u q v r = A p q r s B t u q v r C_{pstuv}=\sum_q\sum_rA_{pqrs}B_{tuqvr}=A_{pqrs}B_{tuqvr} Cpstuv=q∑r∑ApqrsBtuqvr=ApqrsBtuqvr
a = torch.randn(2,3,5,7)
b = torch.randn(11,13,3,17,5)
torch.einsum('pqrs,tuqvr->pstuv', [a, b]).shape
torch.Size([2, 7, 11, 13, 17])
12 双线性变换
D i j = ∑ k ∑ l A i k B j k l C i l = A i k B j k l C i l D_{ij}=\sum_k\sum_lA_{ik}B_{jkl}C_{il}=A_{ik}B_{jkl}C_{il} Dij=k∑l∑AikBjklCil=AikBjklCil
a = torch.randn(2,3)
b = torch.randn(5,3,7)
c = torch.randn(2,7)
torch.einsum('ik,jkl,il->ij', [a, b, c])
tensor([[ 3.8471, 4.7059, -3.0674, -3.2075, -5.2435],
[-3.5961, -5.2622, -4.1195, 5.5899, 0.4632]])
3.总结
einsum是一个函数走天下，是处理各种张量操作的瑞士军刀。话虽如此，“einsum满足你一切需要”显然夸大其词了。从上面的真实用例可以看到，我们仍然需要在einsum之外应用非线性和构造额外维度（unsqueeze）。类似地，分割、连接、索引张量仍然需要应用其他库函数。
使用einsum的麻烦之处是你需要手动实例化参数，操心它们的初始化，并在模型中注册这些参数。不过我仍然强烈建议你在实现模型时，考虑下有哪些情况适合使用einsum.
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