分治算法案例一：汉诺塔

实验内容

1. 设a, b, c是3个塔座：开始时，塔座a上有n个自上而下、由小到大地叠在一起圆盘，各圆盘从小到大编号为1, 2, …, n，现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置，移动圆盘时遵守以下移动规则：

2. 规则1：每次只能移动1个圆盘；

3. 规则2：不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；

4. 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a, b, c中任一塔座上。

(1) 算法设计思路
假设a为初始塔座，b为临时放置点，c为目标塔座。可将圆盘1、2、3看作是一个整体，记为A，圆盘4记为B。所以可以
            1.先将A移动到塔座b。
            2.将B移动至塔座c。
            3.将A移动至塔座c。
            整个操作过程就完成了。
细分：

1. 当只有一个圆盘时，直接将圆盘移动到目标塔座。(作为基值条件)
2. 当不止一个圆盘时，要把上面的n-1个盘子，借助塔座c，将n-1个圆盘移动至临时塔座b。
3. 最后只剩下一个最大的圆盘时，就将此圆盘移动到目标塔座c。
4. 此时，塔座b有n-1个圆盘，再借助塔座a，将n-1个圆盘移动至目标塔座c。

(2).算法实现功能
                     算法：hanoi(a, b, c,n)
                     输入：圆盘数目:int n
                     输出：圆盘移动到目标塔座的步骤
                     S1: if n==1 then
                     S2: move(a,c)
                     S3: return
                     S4: end if
                     S5: hanoi(a,c,b,n-1)
                     S6: move(a,c)
                     S7: hanoi(b,a,c,n-1)

(3)实现代码

import java.util.Scanner;
public class MyHanoi {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		char a = 'a';
		char b = 'b';
		char c = 'c';
		int n = in.nextInt();
		hanoi(a,b,c,n);
	}

	private static void hanoi(char a, char b, char c, int n) {
		//当n = 1时，即塔座只有一个圆盘，直接将此圆盘移动到目标塔座。
		if(n == 1){
			System.out.println("圆盘"+n+" "+a+"---->"+c);
			return;
		}
		//当塔座的圆盘数量>1时，需要借助塔座c，将上面的n-1个圆盘移动到塔座b
		hanoi(a,c,b,n-1);
		//只剩下一个最大的圆盘，故将最底下的圆盘移动到目标塔座
		System.out.println("圆盘"+n+" "+a+"---->"+c);
		//将n-1个圆盘借助塔座a，移动到目标塔座c
		hanoi(b,a,c,n-1);
	}
}

（4）时间复杂度分析
将(n-1)个圆盘借助a移动到b需要T(n-1)步，将最大的圆盘移动到c需要1步，再将(n-1)个圆盘从b移动到c需要T(n-1)步。故递推公式：








式子两边相加，可得