数的划分+关路灯（dp整体思维）

数的划分

计蒜客 - T2155

将整数 $n$ 分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）例如：$n=7$，$k=3$，下面三种分法被认为是相同的。

{ 1,1,5 }、{ 1,5,1 }、{ 5,1,1 }

问有多少种不同的分法。

输入格式 第一行有两个整数 $n,k$ $(6<n\le 200,2\le k\le 6)$

输出格式 $1$ 个整数，即不同的分法个数。

Sample Input

7 3

Sample Output

4

这种类型的dp，老是不会做。
首先将其看成球桶问题，n 球放 k 桶，问多少种放置方法。
不允许空桶，且桶都是相同的。
不要盯着一个桶看，要从整体上看，当前所有桶都放一个球，或者当前桶放一个球直接拿走（后续的放球，这个桶就不包括其中了）。

dp(i,j)表示 i 球放 j 桶

dp(i,j) = dp(i-j,j) + dp(i-1,j)

#include
#include
using namespace std;
int dp[205][10];
int main(){
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    //因为要确保无空桶,所以先每个桶放一个球,剩余n-k个球
    for (int i = 0; i <= n - k;i++){
        for (int j = 0; j <= k;j++){
            if(j==0){
                dp[i][j] = 0;
            }else if(i==0){
                dp[i][j] = 1;
            }
            else if(i-j<0){
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }else{
            	//直接拿走或者都放一个球
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];
            }
        }
    }
    printf("%d", dp[n - k][k]);
    return 0;
}

关路灯

洛谷P1220

题目描述 某一村庄在一条路线上安装了 n 盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入格式 第一行是两个数字 n（表示路灯的总数）和 c（老张所处位置的路灯号）；

接下来 n 行，每行两个数据，表示第 1 盏到第 n 盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式 一个数据，即最少的功耗（单位：J，1J=1W×s）。

数据范围 1≤n≤50，1≤c≤n。

输入 #1复制

5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10

输出 #1复制

270  

说明/提示
样例解释
此时关灯顺序为 3 4 2 1 5。

很经典的dp题。
我把它上面的题放在一起，是因为这道题也是从整体上看，增加损耗不是看某一个路灯从0时刻到关闭它的时候所用时间乘以这台路灯的功率。
而是每次从一个路灯到另一路灯所用时间乘以剩余未关闭的路灯消耗功率。

dp(i,j,0/1)表示区间 [i,j] 的路灯已经关闭
0表示当前人在 i 点, 1 表示当前人在 j 点.
从 i 到 j .若中间有灯肯定顺手关闭,所以每次枚举区间i-j,
当前位置必然在i或j,才是最优方案.
此时用区间dp就可以了.

#include
#include
#include
using namespace std;
int a[55], sum[55];
int dp[55][55][2];
int main(){
    int n, c, x;
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n;i++){
        scanf("%d%d", a + i, &x);
        sum[i] = sum[i - 1] + x;
    }
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    //一开始站在c点,顺手关了该点路灯
    dp[c][c][1] = dp[c][c][0] = 0;
    for (int l = 2; l <= n;l++){
        for (int i = 1; i + l - 1 <= n;i++){
            int j = l + i - 1;
            dp[i][j][0] = min(
                dp[i + 1][j][0] + (a[i + 1] - a[i]) * (sum[n] - sum[j] + sum[i]),
                dp[i + 1][j][1] + (a[j] - a[i]) * (sum[n] - sum[j] + sum[i]));
            dp[i][j][1] =
                min(dp[i][j - 1][0] + (a[j] - a[i]) * (sum[n] - sum[j - 1] + sum[i - 1]),
                    dp[i][j - 1][1] + (a[j] - a[j - 1]) * (sum[n] - sum[j - 1] + sum[i - 1]));
        }
    }
    printf("%d", min(dp[1][n][0], dp[1][n][1]));
    return 0;
}