【HZNU Summer training】POJ1651-Multiplication Puzzle（区间DP）

    此题在之前的训练中一共出现了三次……然而每次都没能搞懂是怎么回事，非常丢人，这次终于知其所以然。

    题意是：给出一串数组，每次取出其中一个数（头尾除外），并把这个数和它两边的数乘积加到结果中，直到所有数被取完为止（除了头尾的数），计算能够得到的最小结果。

    这一题需要用区间DP解决。所谓区间DP，即枚举区间长度，在每次枚举的区间中计算，最后区间长度扩散到整个数组时，就可以将最优结构继承下去。

    先上代码：

#include
#include
#include
#include

    在这个三层for循环中，用k表示区间的长度，i表示区间起点，那么i+k就可以表示区间终点。从2开始枚举。那么第一次枚举的区间中，就有i、i+1、i+2三个元素，此时是可以直接将它们乘起来得出结果的。

    但k=2的情况是最小的结构，过于特殊，我们从一般性考量。假设现在有一个比较长的区间了，那么我们在第三层for循环中，用一个变量j来定下一个中点，这样就可以以这个中点将区间划分为两部分。

    而由于动态规划的美丽的最优子结构性质，被划分出的这两部分区间，必定是已经经过计算得到过结果的，因为更短的区间已经被枚举过（被划分得到的区间长度必定比当前的区间要短），而这些更短的区间则在之前就已经被划分成更更短的两个区间了，而这之前的之前，从小到大迭代区间长度，已经把初始的三个元素乘积计算好，只需一步一步扩散再更新，因此相当于运用了化归思想。

    那么我们可以将被划分出的这两段区间中的元素取完，只剩下a[i]、a[j]、a[i+k]这三个元素，这时候将它们相乘，再与之前取两段区间得到的结果相加，就可以得到计算结果，再跟已经保存的dp[i][i+k]比较，更新一下最小值，然后静静等待区间扩散到整个数组（也就是k逐渐变成n），就能够得到最终的结果。

    此时可以写出状态转移方程：

dp[i][i+k]=min(dp[i][i+k],dp[i][j]+dp[j][i+k]+a[i]*a[j]*a[i+k]);

    担心保存在dp数组中的数据因为某些区间部分重合而被覆盖？不用担心，最优子结构已经帮你把当前最优的结果继承下去了，被覆盖的是不符合题意的结果，留着也百无一用。

    这一题是比较经典的一道区间DP的题，它基于分治法的思想，结果是由各个子结构合并的到，能够帮助我们更好的理解动态规划中“最优子结构”这一重要概念。说的耿直一些，就是要相信你的代码，它已经将你需要的数据计算好存储好了，完全可以大胆取用，我想要得到中点左区间dp[i][j]，那么我直接写出它，也一定是可以用的现成子结构，这就是动态规划的魅力所在。