KM算法详解和其更快优化方法(吊打传统的slack优化)

• 网上讲的对KM算法的优化都是加个slack，看似减掉了$O(n^2)$的找最小值过程，但仔细想想理论上是没啥用的。因为，众所周知，每次重新建立交替树的过程理论最坏情况就是$O(m)$的。而一般用KM算法的图是完备二部图，$O(m)=O(n^2)$。所以网上的传统优化法实际上复杂度还是$O(n^4)$的。这篇博文实验了一种更快的，最坏情况真正做到O(n^3)的算法。
• 我用了两个题测了一下，发现果然自己脑补的算法跑的快很多。一道hdu的题，一道ICPC2019南京区赛的题(这道题用网上的假$O(n^3)$优化算法会超时)，坑了不知多少英雄好汉。

KM算法是干啥的

KM算法力图求出二分图完美匹配中边权和最大的那个。设二部图分为X点集和Y点集。同点集内任意两点无边相连。

KM算法基本原理和正确性证明

• 首先你得会匈牙利算法，并理解它。考虑到这是一个大家都会的东西这里就不说了，高校很多专业课程都讲过。
• 可行子图引理
  • KM算想法理很简单：如果能找到一个顶标的填数方案，使得可行子图有完美匹配，那么这个匹配就是答案。
  • 顶标填数方案：每个X里的点i和Y里的点j都填上数，记作$lx[i],lx[j]$，满足$lx[i]+lx[j]\ge w[i,j]$。这么一种天数方案就是一个顶标。
  • 把所有点和满足$lx[i]+lx[j]==w[i,j]$的边都拎出来，形成一个子图，就是可行子图。
  • 若可行子图有完美匹配那这个匹配就是答案。
  • 正确性证明：任何一种顶标方案下，所有完美匹配边权和必然小于等于$\sum lx[i]+\sum ly[j]$。而根据相等子图的定义，若它有完备匹配，这个匹配的边权和等于顶标和。所以不可能有别的匹配的边权和大于这个匹配。
• 现在就要想办法找到一个有完备匹配顶标填数方案。KM算法过程就是用逐步逼近的思想找这个顶标方案的过程。
• 初始时可以令$$lx[i]=max(w(i,j)),ly[j]=0$$显然这是满足顶标合法性的。
• 然后按着匈牙利算法那样扫描X集合里的点，每个点都在相等子图里尝试找增广路。
• 然而很可能因为能用的边太少了，导致当前的点i搜不到增广路。所以目前的结果是，以当前的X集中的点i为根(第一层)，形成了一棵奇数层数的交替树，奇数层是X集里的点，偶数层是Y里的点。如果不太懂，就请务必再理解理解匈牙利算法。
• 然后满足$lx[i]+lx[j]==w[i,j]$边太少了，导致交替树扩展不动了，就没找到增广路。
• 所以现在要想办法调整顶标，让更多的相等边（满足$lx[i]+lx[j]==w[i,j]$的边）加入到树上，并且保持顶标的合法性。
• 最好的办法是，给树中的所有属于X集的点每个顶标减一个小量delta，同时给在树中的属于Y集的点加一个delta。
• 这样保证了原来树里的边还在树里，不在树里的边现在树里的可能性变大。
• 如何保证顶标合法性呢？只要$$delta=min(lx[i]+kx[j]-w(i,j)),i\in X\wedge i\in tree,j\in Y\wedge j\notin tree$$
• 这样原树中的边两端点一个+delta一个-delta，和不变，还在树中；X在树中Y不在树中边只有X减了delta，并且delta是这种情况里面能减量的最小值，保证剪完之后还满足顶标合法性。
• 根据上面delta=min…一定有新的边加入树中(就是$lx[i]+kx[j]-w(i,j)==delta$那些边)，所以接着搜索增广路搜到的几率就变大了。而顶标的合法性始终满足。
• 正确性：在满足顶标合法性的前提下，每次必然加入新边，若一直没有增广路就会一直加入所有边，这时整个原图都进来了，一定能找到增广路。所以算法是能在有限次调整后收敛到合理的顶标方案的。

KM算法的传统优化代码

这是我发现的网上写的最好懂的板子，结果是正确的。

bool findpath(int x)
{
    int tempDelta;

    visx[x] = true;
    for(int y = 0 ; y < ny ; ++y){
        if(visy[y]) continue;
        tempDelta = lx[x] + ly[y] - G[x][y];
        if(tempDelta ==  0){//(x,y)在相等子图中
            visy[y] = true;
            if(match[y] == -1 || findpath(match[y])){
                match[y] = x;
                return true;
            }
        }
        else if(slack[y] > tempDelta)
            slack[y] = tempDelta;//(x,y)不在相等子图中且y不在交错树中
    }
    return false;
}
void KM()
{

    for(int x = 0 ; x < nx ; ++x){
        for(int j = 0 ; j < ny ; ++j) slack[j] = INF;//这里不要忘了，每次换新的x结点都要初始化slack
        while(true){
            memset(visx,false,sizeof(visx));
            memset(visy,false,sizeof(visy));//这两个初始化必须放在这里,因此每次findpath()都要更新
            if(findpath(x)) break;
            else{
                int delta = INF;
                for(int j = 0 ; j < ny ; ++j)//因为dfs(x)失败了所以x一定在交错树中，y不在交错树中，第二类边
                    if(!visy[j] && delta > slack[j])
                        delta = slack[j];
                for(int i = 0 ; i < nx ; ++i)
                    if(visx[i]) lx[i] -= delta;
                for(int j = 0 ; j < ny ; ++j){
                    if(visy[j])
                        ly[j] += delta;
                    else
                        slack[j] -= delta;
                    //修改顶标后，要把所有的slack值都减去delta
                    //这是因为lx[i] 减小了delta
                    //slack[j] = min(lx[i] + ly[j] -w[i][j]) --j不属于交错树--也需要减少delta，第二类边
                }
            }
        }
    }
}

• 我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修 改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。

复杂度分析

• 我发现了上面代码一个不爽的问题，就是每次都会把vis清空，重新重头开始搜索建立交替树，这岂不是浪费了很多时间?
• 在原来树的基础上接着只搜索新加入的边岂不美哉？这样每条边至多搜索一次，每个找增广路点的点最坏是$O(m)=O(n^2)$,要搜n个点的增广路，总复杂度就真的是$O(n^3)$了。
• 否则按上面算法每次重新建树，每次$O(m)$,所有点一共最多加m次边，总复杂度最坏是$O(m^2)=O(n^4)$。
• 我就是据此脑补出自己的优化的。

不重复构造交替树的更快算法

为了改变上面重复建立交替树的浪费，我改了算法，主要思想就是每次接着原树接着跑增广路，只跑新加入的边。

• 代码：

int findpath(int x)
{
    int tempDelta;
    visx[x]=true;
    for(int y=1;y<=ny;y++){
        if(visy[y])continue;
        tempDelta =lx[x]+ly[y]-G[x][y];
        if(tempDelta ==  0){
            visy[y] = true;
            fa[y+nx]=x;
            if(match[y] == -1){
                return y+nx;
            }
            fa[match[y]]=y+nx;//记录交替树的父亲信息（为了区别X，Y集合，Y的点都映射成n+y）
            int res=findpath(match[y]);
            if(res>0)return res;//返回增广路的末端叶子节点
        }
        else if(slack[x] > tempDelta)//统计以x为准的slack值。
            slack[x] = tempDelta;
    }
    return -1;
}
void KM()
{
    for(int x = 1 ; x <= nx ; ++x){
       for(int i = 1 ; i <= nx ; ++i) slack[i] =oo;
       for(int i=1;i<=nx+ny;i++)fa[i]=-1;
        memset(visx,false,sizeof(visx));
        memset(visy,false,sizeof(visy));//换到外面，可以保留原树
        int fir=1;int leaf=-1;
        while(true){
            if(fir==1){
                leaf=findpath(x);
                fir=0;
            }
            else{
                for(int i=1;i<=nx;i++){
                    if(slack[i]==0){//只接着搜有新边加入的X点
                        slack[i]=oo;//slack要重新清空，方以后接着用
                        leaf=findpath(i);
                        if(leaf>0)break;
                    }
                }
            }
            if(leaf>0){
                int p=leaf;
                while(p>0){
                    match[p-nx]=fa[p];
                    p=fa[fa[p]];//顺着记录一路找找上去
                }
                break;
            }
            else{
                int delta =oo;
                for(int i = 1 ; i <= nx ; ++i)
                    if(visx[i] && delta > slack[i])
                        delta = slack[i];
                for(int i = 1 ; i <= nx ; ++i)
                    if(visx[i]) {lx[i] -= delta;slack[i]-=delta;}//X点的slack要响应改变，slack变0说明有新边加入
                for(int j = 1 ; j <= ny ; ++j){
                    if(visy[j])
                        ly[j] += delta;
                }
            }
        }
    }
}

• 为了方便，我把slack定义改成slack[i]表示X集中树里的i点到Y集中不在树里的所有j点的$min(lx[i]+ly[j]-w(i,j))$。每次减掉delta后，slack变为0的点下肯定有新加入的边，否则肯定没有。所以不重新搜原来的树，从这些点开始直接接着原树跑，直到交替树扩展到存在增广路为止。
• 所以原来while循环里的vis清空是万万不能要的，要了就是推翻一切重新建树，不行的。要放在外面。
• 这样一条增广路可能是经过很多次交替树的扩大得到的，没法直接统计match的答案。所以我开了个fa数组记录了增广树的信息，搜到增广路的结尾后顺着fa一路向上在填match的答案。
• 注意slack以X集点为准的话和Y为准有不同，每次变0后要重新变为INF，因为这个X集的点可能还要和剩的Y点做delta的最小值选择。而传统算法以Y为准不用这样，因为归零之后这个Y的点就进树了，以后就不会再用到它做delta选择了。

实验比较证据

• hdu2255最优匹配板题
  用网上的板子：
  
  我脑补的板子：
  
  快的挺多的。

• ICPC2019南京现场赛(我校摘得一块金牌。。。)

• 题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/42404
  
  这个更猛，网上的板子TLE了，我脑补的跑贼快。。。

• 不幸的是现在网上的板子都是$O(n^4)$或假$O(n^3)$的，无语了。

• 有人被这道区域赛题坑了，然后评论别人的博客时简单提了自己的想法被我看到了，然后我才脑补了这种方法。