最大公约数和最小公倍数的经典求法（C++）及例题实战练习

最大公约数和最小公倍数的经典求法（C++）

最小公倍数：数论中的一种概念，两个整数公有的倍数成为他们的公倍数，其中一个最小的公倍数是他们的最小公倍数，同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数

求最小公倍数算法：
最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数
(1)辗转相除法

有两个整数a和b:
① a%b得余数c
② 若c=0，则b即为两数的最大公约数
③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①
例如求27和15的最大公约数过程为：

27÷15 余12 15÷12余3 12÷3余0 因此，3即为最大公约数

#include 

using namespace std;
int main()
{
    int m, n, a, b, c;
    cout << "Input two integer numbers:\n";
    cin >> a >> b;
    m = a;
    n = b;
    while (b != 0)
    {
        c = a % b;
        a = b;
        b = c;
    }
    cout << "The largest common divisor: " << a << endl;
    cout << "The largest common multiple:" << m*n/a << endl;
    return 0;
}

一种简写的方式：

int gcd(int a, int b)
{
	return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

(2)相减法

有两整数a和b：

① 若a>b，则a=a-b

② 若a<b，则b=b-a

③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数

④ 若a≠b，则再回去执行①

例如求27和15的最大公约数过程为：

27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )

12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )

6－3＝3( 3==3 )

因此，3即为最大公约数

#include 

using namespace std;

int main()
{
    int m, n, a, b;
    cout << "Input two integer numbers:\n";
    cin >> a >> b;
    m = a;
    n = b;
    while (a != b)
    {
        if (a > b)
            a = a - b;
        else
            b = b - a;
    }
    cout << "The largest common divisor: " << a << endl;
    cout << "The least common multiple: " << m*n/a << endl;
    return 0;
}

(3)穷举法
不过因为穷举法效率比较低，一般不用

有两整数a和b：

① i=1

② 若a，b能同时被i整除，则t＝i

③ i++

④ 若 i <= a(或b)，则再回去执行②

⑤ 若 i > a(或b)，则t即为最大公约数，结束

改进：

① i= a(或b)

② 若a，b能同时被i整除，则i即为最大公约数，

结束，否则执行下一步

③ i--，再回去执行②

#include 

using namespace std;

int main()
{
    int m, n, a, b, i, t;
    cout << "Input two integer numbers:\n";
    cin >> a >> b;
    m = a;
    n = b;
    /*for (i = 1; i <= a; ++i)
    {
        if (a % i == 0 && b % i == 0)
            t = i;
    }*/
    for (t = a; t > 0; t--)//改进版
    {
        if (a % t == 0 && b % t == 0)
            break;
    }
    cout << "The largest common divisor: " << t << endl;
    cout << "The least common multiple: " << m*n/t << endl;
}

求从1开始的连续整数的最小公倍数

需要首先明确两个数的最小公倍数的算法，a*b/a和b的最大公约数

int lcm(int a, int b)
{
	return (a * b) / gcd(a, b);
}

关于求多个数字的最小公倍数的算法：
假设有数字a, b, c, d，其最小公倍数的算法为：先求前两个数的最小公倍数ret = lcm(a, b)，再求前两个数的最小公倍数和第三个数的最小公倍数，即前三个数的最小公倍数为ret = lcm(ret, c)，再求前三个数的最小公倍数和第四个数的最小公倍数ret = lcm(ret, d)

int nlcm(int a[], int len)
{
	if (len == 0)
		return 0;
	int ret = a[0];
	for (int i = 1; i < len; ++i)
	{
		ret = lcm(ret, a[i]);
	}
	return ret;
}

思路分析：

先来看从1开始的连续整数的最小公倍数，以6为例：
1 2 3 4 5 6，其最小公倍数为1*2*3*2*5*1，下面说明一下这些乘子是怎么算出来的：
假设1的最大公约数为1，最小公倍数为1；增加一个数2，求1的公倍数和2的最大公约数为1，
最小公倍数为1*（2/1）即为1*2；增加一个数3，求1和2的最小公倍数和3的最大公约数为1，
最小公倍数为1*2*（3/1）即1*2*3；增加一个数4,1~3的最小公倍数
为1*2*3和4的最大公约数为2，最小公倍数为1*2*3*（4/2）即1*2*3*2等等，依次类推，增加到6的时候，
1~5的最小公倍数和6的最大公约数为6，最小公倍数为1*2*3*2*5*（6/6）即1*2*3*2*5*1，由以上推算可知，
每个乘子=n/(1...(n-1)的最小公倍数和n的最大公约数)

当新增一个数n，我们记新增的乘子为m，m= n/(1…(n-1)的最小公倍数和n的最大公约数，初始化m =n，记1…(n-1)的最小公倍数为1 * 2 * 3 * 2 * 5 * 1 * …这种形式，其每一个乘子就是该最小公倍数的一个约数，用m依次除以这些约数，如果能够整除，则m = m/能整除的数，即为新增乘子
代码奉上：

#include 
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        //mult用来存储计算最小公倍数的时候每增加一位数字n，应该在1...n-1的最小公倍数的基础上乘以的数字
        //最多只能计算到100个连续整数的最小公倍数
        int mult[100] = {0};
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            //初始i+1为新增加的连续数字
            mult[i] = i + 1;
            //和前i-1位的乘子做整除，获取最终保留在当前位的乘子
            for (int j = 0; j < i; ++j)
            {
                if (mult[i] % mult[j] == 0)
                {
                    mult[i] /= mult[j];
                }
            }
        }
        int res[50] = {0};//记录结果的大数数组，倒存，低位在前，高位在后
        res[0] = 1;//初始化大数为1
        int bits = 1;//初始化大数位数为1
        for (int i = 0; i < n; ++i)//循环计算n个乘子的乘积
        {
            int carry = 0;//进位记录
            for (int j = 0; j < bits; ++j)//大数和int整数的乘运算
            {
                int current = res[j];
                res[j] = (current * mult[i] + carry) % 10;
                carry = (current * mult[i] + carry) / 10;
            }
            while (carry)//确定本次循环所得结果在res中的占的位数，然后本轮循环结束，i增加1，
            {               //即开始下一个乘子与res的乘积
                res[bits] = carry % 10;
                carry /= 10;
                bits++;
            }
        }
        while (bits > 0)
        {
            cout << res[bits - 1];
            bits--;
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

关于最大公约数的一个很有技巧性的练习

题目描述：
从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素并组成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合；则像这样取出所有组合的组合个数，
叫做从n个元素中取出m个元素的组合数，用符号c(m,n)表示。
现在你的任务是求出C(2n,1),C(2n,3),C(2n,5),...,C(2n,2n-1)的最大公约数

输入：
一个整数(1<n<=10000)
输出：
C(2n,1),C(2n,3),C(2n,5),...,C(2n,2n-1)的最大公约数

样例：
输入：
3
输出：
2

涉及到两个数学原理：
原理一：A和B（假设A>B）的最大公约数等于（A-B）和B的公约数。比如60和45的最大公约数为15，而45和15的最大公约数也是15，因此
也可以反推，即C和D的最大公约数就等于C和(C+D)的最大公约数；
原理二：C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)=2^n, 而且奇数项之和等于偶数项之和，都是2^n / 2,即2^(n-1)
题目中要求的这些数的最大公约数，等价于求C(2n,1)跟这几个数相加起来到的和Sum的最大公约数。有以上分析可知Sum=2^(2n-1),它是2的幂，C(2n,1)=2n,所以整个问题等价于求2n里能除尽多少个2，代码中的n&(-n)就是求这个
举个栗子：
10: 0000 1010

-10: 1111 0110

10&(-10)为 0010 = 2 所以10的因子中为2的有一个

#include 

int main()
{
    int n;
    std::cin >> n;
    std::cout << (2*n)&(-2*n);
    return 0;
}