动态规划——01背包问题滚动数组(一维数组)

看了好几天的背包问题。。。终于有了一点浅显的理解
一开始学完01背包的二维写法，再看一维写法是一脸懵逼的，自己推导了几遍过程，终于是理解了！！！分享一下蒟蒻的心得，背包问题可以去看一下胡凡的算法笔记。

问题如下：有n个重量和价值分别为wi,vi的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。–来自《挑战程序设计竞赛》
输入：n=4 (w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}
输出：7
最大负重为5

如果学过01背包的二维数组写法，那么应该会发现若是递推顺序是正序，那么我们需要用到的是左上方和正上方的数据，如下图
当计算dp[i+1][]时，dp[i-1][]的部分就用不到了。
那么用一维数组又是怎么做的？我们是把上面讲过的左上方和正上方的部分结合起来，从后往前推导
从第一个物品开始，在前面更新的数组基础上继续去更新DP数组的内容，直到没有物品为止。

核心代码如下：

for (int i = 0; i < 4; i++) {
		for (int j = bag_w; j >=w[i]; j--) 
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

bag_w为重量上限

推导过程如下：
dp[]右边是一维数组下标

举个例子，在枚举完i=0的情况时,i=1时使用的是上一次更新完的数组，
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[1]]);等号右边的dp[j]是上一次更新的，即使一维数组里面的dp[j],dp[j-w[1]]相当于二维数组的dp[i-1][j]，dp[i-1][j-w[1]],这样，我们就把二维数组进行了降维。

比如说数塔问题，就是一行一行地去更新，也就是在一维数组里面不断滚动

可以试着去推导，如果是正序的话，同一个物品可能会多次使用，
例如，i=0时，dp[2]=3,dp[3]=3,dp[4]=6,注意了，这里dp[4]=max(dp[4],dp[4-w[0]+v[0])=6;可以看到，在dp[2]的基础上，又放入了物品1，这就变成了完全背包而不是01背包了。

切记，一维必须是逆序的，而二维可以正序也可以逆序。