线性代数：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（1）矩阵的初等变换 矩阵的秩

第一节 矩阵的初等变换

一. 数学概念

等价关系具有的性质：

(i)　 反身性　A~A;

(ii) 对称性　若A~B,则B~A;

(iii)  传递性　若A~B, B~C,则A~C;

二. 重点，难点分析

本节的重点是用矩阵的初等变换将矩阵化为行(列)阶梯形矩阵、最简型矩阵和标准形矩阵。行(列)阶梯形矩阵对于我们下节学习矩阵的秩是至关重要的，最简形矩阵对于今后学习方程组求解是非常有用的。只要掌握将矩阵化为阶梯形、最简型和标准形的一般规律，就将使其化难为易，快速得出所需要的结果。

三. 典型例题

例　设矩阵

将A化成行阶梯形，行最简形和标准形矩阵。

解：对矩阵A作初等行变换，

  

显然，B₁是行阶梯形矩阵，其特点是：阶梯线下方的数全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的均为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的首非零元。

将B₁再继续进行初等行变换，得

　　显然B₂是行最简型矩阵，其特点是：非零行的首非零元为1，且这些非零元所在的列的其它元素都为0。

对行最简形矩阵再施以初等列变换，得：

显然  是标准形矩阵，其特点是，该矩阵的左上角是一个单位矩阵，其它的元素全为零。

　　注：将矩阵化为标准形矩阵可以用初等行变换先变成行阶梯矩阵，再变成行最简矩阵，在此基础上再用初等列变换最终化成标准形矩阵，也可以通过用初等列变换将其变成列阶梯形矩阵，再用初等列变换变成列最简形矩阵，最后用初等行变换将其变成标准形矩阵，也可以初等行、列变换并用，将快速把矩阵变成标准形矩阵。但考虑下面学习解线性方程组的需要，我们必须熟练掌握用初等行变换把矩阵化为行最简形矩阵。

第二节　矩阵的秩

一. 数学概念

定义2.1　在  矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k²个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

定义2.1　设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作

R(A)。

1. 零矩阵的秩为0；

2.  ；

3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；

4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。

二. 原理公式和法则

    定理2.1　若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

三. 重点、难点分析

本节的重点是用初等变换求出矩阵的秩，重点掌握用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，进而求出矩阵的秩，这对于求解线性方程组是非常有用的。难点是怎样正确的理解定理的证明和再用初等变换将矩阵化为阶梯中的方法和技巧，掌握了方法和技巧，将简单快速求出矩阵的秩，否则抓不住规律，计算起来将十分繁杂。

四. 典型例题

例1 设矩阵

求矩阵A的秩，并求A的一个最高非零子式。

解：先求A的秩，为此对A作初等行变换成行阶梯形矩阵：

 

因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R(A)=3.

再求A的一个最高阶非零子式。因R(A)=3，知A的最高阶非零子式为3阶。A的3阶子式共有  (个)，要从40个子式中找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察A的行阶梯形矩阵，记  ，则矩阵 的行阶梯形矩阵为

知R(B)=3，故B中必有3阶非零子式。B的3阶子式有4个，在B的4个3阶子式中找一个非零子式比在A中找非零子式较方便。今计算B的前三行构成的子式

 ，

因此这个子式便是A的一个组高阶非零子式。

from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm