logistic regression（LR）对数几率回归 / 逻辑回归 公式推导

目录(?)[-]

1. 二分类和回归的关系
2. sigmoid函数与LR的关系
3. 条件概率
4. 最大似然求解
5. 附录
   1. sigmoid函数求导
   2. 似然
   3. Reference

因为是傻瓜式教程，所以一定会非常详细！一些概念link到了Wiki的相应解释上。 
欢迎捉虫~！

二分类和回归的关系

考虑  x⇒y  表示的二分类或回归问题，其中  x  是输入，  y  是输出。 
1. 在二分类中，  y  的值取0或1，代表被分为正类或负类。在回归中，  y  的取值为连续值。 
2. 在线性回归模型中，  y=wTx=w⋅x ，此处  w  为参数向量，  x  为输入样本向量。 
3. 进一步，广义线性回归模型可以写为  g(y)=w⋅x  或者   y=g−1(w⋅x) 的形式，其中  g  为单调可微函数。所以在对数回归中，模型是  ln(y)=w⋅x 。

sigmoid函数与LR的关系

sigmoid函数：在数学上是拥有性感的s形曲线样子的函数: 

通常说的sigmoid函数指的是这个logistic函数：  δ(z)=11+e−z=ez1+ez  。本文所指的sigmoid函数就是该logistic函数： 

sigmoid函数具有以下特点： 
- 值域在(0,1) 
- 求导非常容易  δ′(z)=δ(1−δ(z))  (求导过程见附录，或Wiki)

我们希望在做二分类时，输出  y  不再是非0即1的取值，而是希望输出一个有概率意义的  (0,1)  之间的值，表示的是分为正类的概率（所以  1−y 是分为负类的概率），然后再做二分类，所以我们挑选sigmoid函数作为广义线性回归的 g−1 ，即

y=δ(w⋅x)=11+e−w⋅x(1)

接下来将符合   y=g−1(w⋅x)  形式的  (1)  写为  g(y)=w⋅x  的形式，则 

y+ye−w⋅x=1

ye−w⋅x=1−y

e−w⋅x=1−yy

−w⋅x=ln(1−yy)

w⋅x=ln(y1−y)(2)

所以，现在   g(y)=ln(y1−y) 。 
前面说到，输出值  y  代表分到正类的概率，  1−y  代表分到负类的概率，那么  y1−y=正类概率负类概率  ，称为 几率，  ln(y1−y) 称为 对数几率(logit)。  (2)  的本质是用  w⋅x  线性回归模型逼近对数几率，我们管这叫 对数几率回归( logit regression / logistics regression)。

条件概率

•  y  代表分到正类的概率，即为条件概率：  P(y=1|x) 。 
   1−y  代表分到负类的概率，即为条件概率：  P(y≠1|x)=P(y=0|x)=1−P(y=1|x) 。
• 我们有 P(y=1|x)=y=11+e−w⋅x
• 假设数据集共有  N  个样本，记第i个样本输入（m维向量）和样本标签分别为  xi=[xi(1),xi(2),...,xi(m)]T，yi={0,1}  。条件概率其实和参数  w  有关，那么正确分类的条件概率应该写为:   P(y=yi|x=xi;w) ，简记为  P(yi|xi;w)  。 
  (意思是输入变量  x  取  xi  时，输出  y =真实标签  yi  的概率)

• 正确分类概率P(yi|xi;w)=⎧⎩⎨P(y=1|xi;w),P(y=0|xi;w)=1−P(y=1|xi;w),if yi=1 if yi=0

• ln[P(yi|xi;w)]=⎧⎩⎨ln[P(y=1|xi;w)],ln[[P(y=0|xi;w)]=ln[1−P(y=1|xi;w)],if yi=1 if yi=0

• 也等价于 lnP(y=yi|xi;w)={yi=1}lnP(y=1|xi;w)+{yi=0}ln(1−P(y=1|xi;w))  
  其中 {yi=1} 称为示性函数，当条件被满足就取1，否则取0。 
  在二分类型况下，怎么样的函数能满足这样的条件呢？ yi 和 1−yi 就可以呀！ 
  
  ln[P(yi|xi;w)]=(yi)ln[P(y=1|xi;w)]+(1−yi)ln[1－P(y=1|xi;w)](3)

从原始概率来看，即

P(yi|xi;w)=P(y=1|xi;w)yi×(1−P(y=1|xi;w))(1−yi)

最大似然求解

似然的解释见附录或Wiki

我们希望，求得参数  w  ，使“抽取的样本  xi  属于本身的标签  yi  的概率最大 ”即  P(yi|xi;w) 尽量大。 
换句话说，就是极大化对数似然  L(w) ： 

L(w)=ln∏iNP(yi|xi;w)=∑iNln[P(yi|xi;w)](4)

那么我们的目标就是

w∗=awrgmaxL(w)

 (4)  中我们用到  ln(ab)=ln(a)+ln(b) ，是因为连乘比起连加，求最优的难度更大，所以用对数函数转换一下，方便求解。 
将 (3)  带入 (4)  ，得： 

L(w)=∑iNln[P(y=1|xi;w)yi×(1−P(y=1|xi;w))(1−yi)](5)

化简： 

L(w)=∑iN{ln[P(y=1|xi;w)yi]+ln[(1−P(y=1|xi;w)(1−yi)]}

L(w)=∑iN{yiln[P(y=1|xi;w)]+(1−yi)ln[1−P(y=1|xi;w)]}

我们有 P(y=1|x;w)=y=11+e−w⋅x  

L(w)=∑iN{yiln(P(y=1|xi;w)1−P(y=1|xi;w))+ln(1−ew⋅xi1+ew⋅xi)}

回忆 (2)，ln(P(y=1|xi;w)1−P(y=1|xi;w))  实际就是  w⋅xi  嘛！ 

L(w)=∑iN{yiw⋅xi−ln(1+ew⋅xi)}

w∗=awrgmaxL(w)=awrgmin[−L(w)]=awrgmin∑iN{ln(1+ew⋅xi)−yiw⋅xi}(6)

最终目标函数成了最小化这个loss了，如何最小化？它关于x可导又连续，学过凸优化的都知道怎么做了吧？牛顿法、梯度下降等可以迭代求解最优。从搞神经网络的角度看，sigmoid是经典的激活函数，LR完全可以等价成一层的神经网络，激活函数是sigmoid！这里回忆一下，sigmoid函数的优良性质之一：导数好求。所以对于一切需要求梯度的方法，代码实现的难度就降低了。

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附录

sigmoid函数求导

记  f=δ(x)  

f=11+e−x=exex+1

1f−1=ex+1ex−1=ex

求导公式：(1f)′=−1f2; g(f)′=g′f⋅f′  

f′=1(1+e−x)2e−x=f2(1f−1)=f(1−f)

似然

我们从机器学习的角度看

• 记 θ  为模型（参数）。
• 记  D  为训练数据集，是真实数据空间的抽样集合，训练数据集越大，D的分布越接近真实数据空间的分布。

• 记  x  为一个观测，也可以理解为一个训练样本，是真实数据空间的一个抽样，即随机变量X的一个取值。

• 似然/似然函数（likelihood）：给定参数时，事件出现的可能性。 
  “似然”和“概率”可以算作同义词。通常，似然用于数据已知时描述模型参数（数据已知了还要描述数据出现的可能性，可不是就和参数有关嘛）。而概率通常用于描述未知的事件出现的可能性。似然的举例如下：

  1. 当假设数据集中的每个样本在样本空间中都是独立的时候，参数 θ  相对于样本集 D={x1,x2,x3,...,xn} 的似然为 L(θ)=P(x1,x2,x3,...,xn|θ)=∏niP(xi|θ)
  2. 参数 θ  相对于一个观测 x  的似然为 L(θ)=P(x|θ)

  L(θ)  是一个关于 θ  的函数。特别的，当  θ  是随机变量时， L(θ)  是条件概率 P(X=x|θ) ，也可以写为 P(X=x;θ) 。

• 贝叶斯推理的观点： 
  θ  是服从分布 pθ  的随机变量，分布 pθ  是关于模型的假设，称为先验，先验概率（piror probability）也记为 p(θ) ；给定数据集能得到模型 θ  的概率 P(θ|D) 称为后验概率（posterior probability）；参数 θ  下数据集样本都在观测都出现的概率 P(x|θ)  为似然（likelihood）；数据集的联合概率为 P(D) 。

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Reference：

周志华 －《机器学习》 
ufldl － softmax 
图片均来自维基百科