MATLAB常微分方程数值解
作者：凯鲁嘎吉 - 博客园 http://www.cnblogs.com/kailugaji/
1.一阶常微分方程初值问题
2.欧拉法
3.改进的欧拉法
4.四阶龙格库塔方法
5.例题
用欧拉法，改进的欧拉法及4阶经典Runge-Kutta方法在不同步长下计算初值问题。步长分别为0.2,0.4,1.0.
matlab程序：
function z=f(x,y) z=-y*(1+x*y);
function R_K(h)
%欧拉法
y=1;
fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);
for i=1:1/h
x=(i-1)*h;
K=f(x,y);
y=y+h*K;
fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);
end
fprintf('\n');
%改进的欧拉法
y=1;
fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);
for i=1:1/h
x=(i-1)*h;
K1=f(x,y);
K2=f(x+h,y+h*K1);
y=y+(h/2)*(K1+K2);
fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);
end
fprintf('\n');
%龙格库塔方法
y=1;
fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',0,1);
for i=1:1/h
x=(i-1)*h;
K1=f(x,y);
K2=f(x+h/2,y+(h/2)*K1);
K3=f(x+h/2,y+(h/2)*K2);
K4=f(x+h,y+h*K3);
y=y+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);
end
结果：
>> R_K(0.2) 欧拉法：x=0.000000, y=1.000000 欧拉法：x=0.200000, y=0.800000 欧拉法：x=0.400000, y=0.614400 欧拉法：x=0.600000, y=0.461321 欧拉法：x=0.800000, y=0.343519 欧拉法：x=1.000000, y=0.255934 改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000 改进的欧拉法：x=0.200000, y=0.807200 改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.636118 改进的欧拉法：x=0.600000, y=0.495044 改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.383419 改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.296974 龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000 龙格库塔法：x=0.200000, y=0.804636 龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631465 龙格库塔法：x=0.600000, y=0.489198 龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377225 龙格库塔法：x=1.000000, y=0.291009 >> R_K(0.4) 欧拉法：x=0.000000, y=1.000000 欧拉法：x=0.400000, y=0.600000 欧拉法：x=0.800000, y=0.302400 改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000 改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.651200 改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.405782 龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000 龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631625 龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377556 >> R_K(1) 欧拉法：x=0.000000, y=1.000000 欧拉法：x=1.000000, y=0.000000 改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000 改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.500000 龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000 龙格库塔法：x=1.000000, y=0.303395
注意：在步长h为0.4时，要将for i=1:1/h改为for i=1:0.8/h。