洛谷4980【模板】Polya定理题解（置换群+数论）

题目：luogu4980.
题目大意：给定一个长度为$n$的环，用$n$种颜色染色，求本质不同（旋转后相同算一种）的染色方案数.
数据组数$T\le 10^3$，$1\le n\le 10^9$，答案对$10^9+7$取模.

具体Polya定理相关内容参考群论与置换群入门.

考虑将旋转放入一个置换群，那么置换群中的元素有循环$0$位，循环$1$位，循环$2$位…循环$n-1$位，其中循环$0$为可以看成循环$n$位.

然后使用Ploya定理，设$C(A)$表示$A$可以拆分的轮换数，那么有：
$$ans=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{n}^{C(A_i)}$$

现在的问题是如何计算每一个置换可以拆成几个轮换.

考虑循环$a$位如何计算可以拆解的轮换数.容易发现拆解出来的每个轮换大小都是相等的，可以用$n$除掉轮换大小，问题变为求轮换大小.

显然轮换大小应该是以下方程中$x$的最小正整数解：
$$ax\equiv 0(modn)$$

可以转化为以下方程中$x$的最小正整数解：
$$ax=ny$$

容易发现$x$为最小正整数解时，$ax=ny=\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(n,a)$.

于是轮换数就是：
$$\frac{n}{\frac{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(n,a)}{a}}=\frac{na}{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(n,a)}=\gcd (n,a)$$

也就是说对于一个循环位移$a$位的置换$A$有$C(A)=\gcd (n,a)$.

那么整道题目的答案为：
$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{n}^{\gcd (n,i)}$$

可是$n$是$10^9$级别的数据，并不能暴力枚举…

所以开始推式子：
$$\begin{gathered} \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{n}^{\gcd (n,i)} \\ =\frac{1}{n}\sum _{d|n}{n}^d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd (\frac{n}{d},i)=1] \\ =\frac{1}{n}\sum _{d|n}{n}^d\varphi (\frac{n}{d}) \\ =\sum _{d|n}{n}^{d-1}\varphi (\frac{n}{d}) \end{gathered}$$

这个东西计算起来时间复杂度是$O(\tau (n)\sqrt{n})$，不能过.

可以先把$n$的质因数分解出来，然后每次求它的某个因数的$\varphi$值时，可以直接暴力枚举$n$的质因数去算，时间复杂度$O(T(\tau (n)\log n))$.

代码如下：

#include
using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=50,mod=1000000007;

int add(int a,int b,int p=mod){return a+b>=p?a+b-p:a+b;}
int sub(int a,int b,int p=mod){return a-b<0?a-b+p:a-b;}
int mul(int a,int b,int p=mod){return (LL)a*b%p;}
void sadd(int &a,int b,int p=mod){a=add(a,b,p);}
void ssub(int &a,int b,int p=mod){a=sub(a,b,p);}
void smul(int &a,int b,int p=mod){a=mul(a,b,p);}
int Power(int a,int k,int p=mod){int res=1;for (;k;k>>=1,smul(a,a,p)) if (k&1) smul(res,a,p);return res;}

int n,d[N+9],cd;

void Get_d(int n){
  cd=0;
  int now=n;
  for (int i=2;i*i<=n;++i)
    if (now%i==0)
      for (d[++cd]=i;now%i==0;now/=i);
  if (now>1) d[++cd]=now;
}

int Get_phi(int n){
  int res=n;
  for (int i=1;i<=cd;++i)
    if (n%d[i]==0) res=res/d[i]*(d[i]-1);
  return res;
}

int ans;

Abigail into(){
  scanf("%d",&n);
}

Abigail work(){
  ans=0;
  Get_d(n);
  for (int i=1;i*i<=n;++i)
    if (n%i==0){
  	  sadd(ans,mul(Power(n,i-1),Get_phi(n/i)));
  	  if (i*i^n) sadd(ans,mul(Power(n,n/i-1),Get_phi(i)));
    }
}

Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}

int main(){
  int T;
  scanf("%d",&T);
  while (T--){
    into();
    work();
    outo();
  }
  return 0;
}