聚类算法(KMeans&DBSCAN)

一、聚类定义

• 聚类就是对大量未知标注的数据集，按数据的内在相似性将数据集划分为多个类别，使类别内的数据相似度较大而类别间的数据相似度较小，即高类间聚，低类内聚。
• 相似度怎么衡量呢？
  
  • 相似度与距离成负相关 ，所以我们通常用样本间的距离来衡量其相似度。
  • 不同的场景，有不同的样本内容，但最终都会把样本表示成向量。
• 向量的距离怎么表示呢？(假设空间内有两个n维(n>=2)向量 (x1,x2,....,xn)和(y1,y2,...,yn) )
  
  • 欧式距离(euclidean)： ∑i=1n(xi−yi)2−−−−−−−−−−√
  • 曼哈顿距离(manhattan)： ∑i=1n|xi−yi|
  • 核函数映射后距离： d(x,y)=∥f(x)−f(y)∥
  • 闵可夫斯基距离(minkowski)： ∑i=1n(|xi−yi|)p−−−−−−−−−−−√p ，p=1为曼哈顿距离， p=2为欧式距离。
  • 带权重闵可夫斯基距离(wminkowski)： ∑i=1n(w∗|xi−yi|)p−−−−−−−−−−−−−−√p
  • 标准化欧式距离(seuclidean)：即对于各特征维度做了归一化以后的欧式距离。此时各样本特征维度的均值为0，方差为1.
  • 相关系数： ρ=cov(X,Y)D(X)√D(Y)√
  • 余弦相似度
    

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二、K-Means 聚类

K-Means can be seen as a special case of Gaussian mixture model with equal covariance per component.
K-Means is equivalent to the expectation-maximization algorithm with a small, all-equal, diagonal covariance matrix.

• 算法步骤
  

• 迭代收敛的终止条件怎么定义？

  • 聚类中心不再变化(或者变化小于某阈值)
  • 损失函数小于某阈值
  • 达到指定的迭代次数
• 损失函数(Coordinate descent)
  
• K 值的选择？
  
• 初始聚类中心的选择？
  
  • 优化的初始化聚类方法（Arthur 和 Vassilvitskii 提出的Kmeans++）
  • 多初始化几遍((适用于 k=2→10 )，选所有这些聚类中损失函数(到聚类中心和)最小的。
  • 初始第一个聚类中心为某个样本点，初始第二个聚类中心为离它最远的点，第三个为离它俩最远…

• K-Means 的局限性以及解决办法

  • 若存在一个没有样本点分配给它的聚类中心，我们通常会直接移除那个聚类中心，由 K 个簇变为 K−1 个簇
  • K-Means 算法可能收敛到局部最小值，且在大规模数据集上收敛较慢，解决办法：二分K-Means
    

• 二分K-Means(最大程度的降低误差平方和)

  • 首先，将所有点作为一个簇，然后使用 K-Means 算法该簇一分为二
  • 下次迭代时，选择有最大误差的簇使用 K-Means 算法(k=2)继续进行划分
  • 重复该过程，直至 k 个簇创建成功为止

• scikit-learn中的KMeans类

  • 主要参数
    
    • n_clusters：聚类数量，默认为8
    • init： 初始值选择的方式，默认为k-means++，可以为完全随机选择random或者ndarray
    • n_init：用不同的初始化质心运行算法的次数。由于K-Means是结果受初始值影响的局部最优的迭代算法，因此需要多跑几次以选择一个较好的聚类效果，默认是10。
    • max_iter：最大的迭代次数，默认300次。
    • tol ：容忍的最小误差(默认为0.0001)，当误差小于tol就会退出迭代。
    • algorithm：默认为auto，不用更改。
    • random_state：The generator used to initialize the centers. If an integer is given, it fixes the seed(即：给定一个整数后，每次运行的结果都是一致的，否则是随机的)

  • 常用方法及属性

     from sklearn.cluster import KMeans
     from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    
     # 随机变量标准化，使其服从标准正态分布
     # Standardize features by removing the mean and scaling to unit variance
     X_Norm = StandardScaler.fit_transform(X)
    
     # 返回一个簇对象，包含属性cluster_centers_、labels_、
     # inertia_(Sum of distances of samples to their closest cluster center)
     cls_object = KMeans(n_clusters=4).fit(X_Norm)
    
     # 预测新数据的类别
     label_new = KMeans(n_clusters=4).predict(new_data) 

  • plt 绘图中文显示参数设置

     import matplotlib.pyplot as plt
     plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] # 用来正常显示中文标签
     plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False   # 用来正常显示负号
     # 有中文出现的情况，需要加上u'content',使用 unicode 编码

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三、密度聚类

该聚类算法假设：聚类结构能够通过样本分布的紧密程度确定。通常聚类算法从样本密度的角度来考察样本之间的可连续性，并基于可连续性样本不断扩展聚类簇以获得最终的聚类结构。

指导思想：只要样本点的密度大于某阈值，则将该样本添加到最近的簇中。

优缺点：该算法可发现任意形状的聚类，且对噪声不敏感；但计算复杂度大，需要建立空间索引来降低计算量。

1. DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise)

• DBSCAN算法的若干概念

  • 对象的ε-邻域：给定对象在半径 ε内的区域。
  • 核心对象：对于给定的数目m，如果一个对象的ε-邻域至少包含 m 个对象，则称该对象为核心对象。
  • 直接密度可达：给定一个对象集合D，如果 p 是在核心对象 q 的ε-邻域内，我们说从对象 q 出发到对象p是直接密度可达的。
  • 密度可达：如果存在一个对象链 p1、p2…pn，p1=q，pn=p ，对 pi∈D，(1≤i≤n) ， pi+1 是从 pi (核心对象) 关于 ε 和 m 直接密度可达的，则对象 p 是从核心对象 q 关于 ε 和 m 密度可达的。
  • 密度相连：如果对象集合D中存在一个核心对象o，使得对象 p 和 q 是从 o 关于 ε 和 m 密度可达的，那么对象 p 和 q 是关于 ε 和 m 密度相连的。
  • 簇：密度相连的点的最大集合。
  • 噪声：不包含在任何簇中的对象称为噪声。
    

• DBSCAN算法流程

  • 如果一个点 p 的ε-邻域包含多于 m 个对象，则创建一个 p 作为核心对象的新簇
  • 寻找并合并核心对象直接密度可达的对象
  • 没有新点可以更新簇时，算法结束
  • 由上述算法可知：
    
    • 每个簇至少包含一个核心对象
    • 非核心对象可以是簇的一部分，构成了簇的边缘(edge)
    • 包含过少对象的簇被认为是噪声

• scikit-learn中的DBSCAN类

  • 主要参数(本身的参数+最近邻度量的参数)

    • eps： DBSCAN算法参数，即我们的ϵ-邻域的距离阈值，默认值是0.5。一般需要通过在多组值里面选择一个合适的阈值。eps过大，则更多的点会落在核心对象的ϵ-邻域，此时我们的类别数可能会减少， 本来不应该是一类的样本也会被划为一类。反之则类别数可能会增大，本来是一类的样本却被划分开。
    • min_samples： DBSCAN算法参数，即样本点要成为核心对象所需要的ϵ-邻域的样本数阈值，默认值是5。一般需要通过在多组值里面选择一个合适的阈值。通常和eps一起调参。在eps一定的情况下，min_samples过大，则核心对象会过少，此时簇内部分本来是一类的样本可能会被标为噪音点。反之min_samples过小的话，则会产生大量的核心对象。
    • metric：最近邻距离度量参数。可以使用的距离度量较多，一般来说DBSCAN使用默认的欧式距离（即p=2的闵可夫斯基距离）就可以满足我们的需求

    • algorithm：最近邻搜索算法参数，算法一共有三种，第一种是蛮力实现，第二种是KD树实现，第三种是球树实现。对于这个参数，一共有4种可选输入，‘brute’对应第一种蛮力实现，‘kd_tree’对应第二种KD树实现，‘ball_tree’对应第三种的球树实现， ‘auto’则会在上面三种算法中做权衡，选择一个拟合最好的最优算法。需要注意的是，如果输入样本特征是稀疏的时候，无论我们选择哪种算法，最后scikit-learn都会去用蛮力实现‘brute’。个人的经验，一般情况使用默认的 ‘auto’就够了。 如果数据量很大或者特征也很多，用”auto”建树时间可能会很长，效率不高，建议选择KD树实现‘kd_tree’，此时如果发现‘kd_tree’速度比较慢或者已经知道样本分布不是很均匀时，可以尝试用‘ball_tree’。而如果输入样本是稀疏的，无论你选择哪个算法最后实际运行的都是‘brute’。

    • leaf_size：最近邻搜索算法参数，为使用KD树或者球树时， 停止建子树的叶子节点数量的阈值。这个值越小，则生成的KD树或者球树就越大，层数越深，建树时间越长，反之，则生成的KD树或者球树会小，层数较浅，建树时间较短。默认是30. 因为这个值一般只影响算法的运行速度和使用内存大小，因此一般情况下可以不管它。

    • p: 最近邻距离度量参数。只用于闵可夫斯基距离和带权重闵可夫斯基距离中p值的选择，p=1为曼哈顿距离， p=2为欧式距离。如果使用默认的欧式距离不需要管这个参数。

    • 以上就是DBSCAN类的主要参数介绍，其实需要调参的就是两个参数eps和min_samples，这两个值的组合对最终的聚类效果有很大的影响。

  • 常用方法及属性

     from sklearn.cluster import DBSCAN
     from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    
     # 随机变量标准化，使其服从标准正态分布
     # Standardize features by removing the mean and scaling to unit variance
     X_Norm = StandardScaler.fit_transform(X)
    
     params = ((0.2, 5), (0.2, 10), (0.2, 15), (0.3, 5), (0.3, 10), (0.3, 15))
    
    
     # 返回一个簇对象，包含属性core_sample_indices_、labels_(Noisy samples label -1)、
     # components_(Copy of each core sample found by training)
     eps, min_samples = params[i]
     cls_object = DBSCAN(eps=eps, min_samples=min_samples).fit(X_Norm)

2. 密度最大值聚类(Density-Peek Clustering)

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四、层次聚类、谱聚类、高斯混合模型聚类

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五、聚类的衡量指标

• 均一性、完整性、V-measure(均一性和完整性的加权平均)
• ARI & AMI
• 轮廓系数 Silhouette Coefficient 和 Calinski-Harabasz Index
• 可通过from sklearn import metrics调用