追赶法求解三对角方程组

1. 来源和背景

对于一个（主）三对角方程组，我们常用“追赶法”来进行求解. 而三对角方程组常常出现于微分方程的数值求解，例如热传导方程的边值问题

{y′′(x)=f(x,y,y′), a≤x≤by(a)=η1, y(b)=η2

当 f(x,y,y′) 是一个线性函数时，对该边值问题的数值解转化为一个典型的三对角方程组求解.

“追赶法”目前比较可靠的来源是下面的文章：
Thomas, L.H., Elliptic Problems in Linear Differential Equations over a Network. Watson Science Computer Laboratory Report, 1949.
其中的一个依据是，在国外的文章和教材中，“追赶法”被称为“Thomas算法”.

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2. 追赶法的基本原理

追赶法的基本原理是矩阵的LU分解，即将矩阵 A 分解为

A=LU

其中， L 为一个对角线上元素为 1 的下三角矩阵， U 为一个上三角矩阵. 容易验证，一个三对角矩阵作LU分解以后，得到一个下二对角矩阵与一个上二对角矩阵的乘积，即

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a12a22a32a23a33⋱a34⋱⋱an−1,n−2an−1,n−1an,n−1an−1,nan−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

L=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1ℓ211ℓ321⋱⋱ℓn−1,n−21ℓn,n−11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

U=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢u11u12u22u23u33u34⋱⋱un−1,n−1un−1,nun−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

三对角矩阵 A 的LU分解计算过程如下：

for i = 2 to n
    A(i,i-1) = A(i,i-1)/A(i-1,i-1);
    A(i,i) = A(i,i) - A(i-1,i) * A(i,i-1);
end

在计算过程中，将下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U 的值保存在原矩阵 A 中. 计算结束以后，矩阵 A 中的元素为

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢u11ℓ21u12u22ℓ32u23u33⋱u34⋱⋱ℓn−1,n−2un−1,n−1ℓn,n−1un−1,nun−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

注： 三对角矩阵 A 做LU分解以后，严格上三角部分的元素没有发生变化，即上三角矩阵 U 中的元素

ui,i+1=ai,i+1, i=1,2,…,n−1

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3. 追赶法求解三对角方程组

使用LU分解的求解线性方程组时，不需要存储下三角矩阵，而上三角矩阵将被用于回代求解.

3.1 “追”的过程：分解

对于 n 阶的三对角方程组

Ax=b

我们先用LU分解得到

Ux=y

注： 由 Ax=LUx=b ，得

Ux=L−1b

记 y=L−1b ，即得到方程组 Ux=y .

计算过程如下：

for i = 2 to n
    A(i,i-1) = A(i,i-1)/A(i-1,i-1);
    A(i,i) = A(i,i) - A(i-1,i) * A(i,i-1);
    b(i) = b(i) - b(i-1) * A(i,i-1);
end

循环里面的前两行与LU分解完全相同，第三行负责对常数项做相应的变换. 在计算过程中，上三角矩阵 U 的值保存在原矩阵 A 中，变换后的常数 y=L−1b 保存在 b 中.

3.2 “赶”的过程：回代

接着，我们用回代法求解上三角形方程组. 从三对角矩阵得到的上三角形方程组如下：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢u11u12u22u23u33u34⋱⋱un−1,n−1un−1,nun−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn−1xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yn−1yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

注意在前面的计算过程中，我们将上三角矩阵 U 保存在 A 中，常数项 y 保存在 b 中. 因此，我们得到如下的回代过程：

x(n) = b(n) / A(i,i); 
for i = n-1 to 1
    x(i) = (b(i) - A(i,i+1) * x(i+1)) / A(i,i);
end

4. 实用的程序代码

在三对角矩阵中，三对角线以外的元素均为 0 ，为了提高存储的效率，我们只需存储三对角线上的元素即可. 因此，对于前面的矩阵 A ，我们只存储三个向量：

d=[A(1,1),A(2,2),...,A(n,n)];
u=[A(1,2),A(2,3),...,A(n-1,n)];
l=[A(2,1),A(3,2),...,A(n,n-1)];

这三个向量分别为矩阵 A 三条对角线上的元素. 假定常数向量为

b=[b(1),b(2),...,b(n)];

则实用的追赶法（亦称为“Thomas算法”）求解三对角方程组的过程如下：

% 追
for i = 2 to n
    l(i-1) = l(i-1)/d(i-1);
    d(i,i) = d(i,i) - u(i-1) * l(i-1);
    b(i) = b(i) - b(i-1) * l(i-1);
end
% 赶
x(n) = b(n) / d(i); 
for i = n-1 to 1
    x(i) = (b(i) - u(i) * x(i+1)) / d(i);
end