支配树与Lengauer-Tarjan算法

伪目录

1. 给出支配树的定义
2. 给出一些性质
3. 介绍快速构造支配树的Lengauer-Tarjan算法及具体实现

支配树是啥

一个有源点的有向图，其支配树是满足下面条件的一个有向图：

对于支配树上一点，若断开此点，则源点必定不能到达它的任何儿子，并且能到达其他任意一个点。

不显然的，它是一棵树（当然后面会有证明）

支配树有很多实际用途，我都不知道。

一些性质

对于一个有向图，假设源点为$r$，先从$r$出发构造一棵dfs树。

定义：对于一个点$u$，若一支配$u$的点$w$满足$w̸=u$并且$w$被支配$u$的其他不含$u$的支配点支配，则$w$就是$u$的最近支配点，记作$idom(u)$。

通俗的讲，$w$是离$u$最近的那个支配点，并且能恰好支配$u$。

Lemma 1: 支配关系不存在环。

Proof: 若$a$支配$b$，那么$r$到$b$必定经过$a$，若$b$支配$a$则到达$b$需要经过$a$，此时并没有经过$b$，产生矛盾。

Lemma 2: 除源点外，其他点有且仅有一个最近支配点。

Proof: 若$a$支配$b$，$b$支配$c$，则$a$支配$c$；若$a$支配$c$，$b$支配$c$，那么$a$支配$b$或$b$支配$a$，否则可以找到一条路径不经过$a$而到达$c$而矛盾。因此支配$u$的所有点的集合构成了一个全序关系，因此总可以找到一个点满足上述最近支配点的定义。

Theorem 1: 若连接一个点和其最近支配点，那么这张图构成了一棵树，并且满足支配树的定义。

Proof: 由Lemma 1和Lemma 2可以得到这张图就是一棵树。容易证明，若断开$u$，则源点不可能到达$u$的任意一个儿子。对于其他点，由支配树的定义和Lemma 2可以推导出这个点不会受到$u$是否断开的影响。

由Theorem 1，若得到了所有点的$idom$，则容易构造出这张图的支配树。

那么怎么求$idom$呢？

首先定义：定义一个点$u$的半支配点$w$为存在路径$w\to u$，使得除了$w$，这条路径上任意一个点的dfs序都大于等于$u$的dfs序，并且$w$是所有满足条件的点中最小的那个，记作$sdom(u)$。

Lemma 3: 对于任意一点$u̸=r$，$idom(u)$为$u$在dfs树上的祖先。

Proof: 若不是祖先，则可以找到一条只经过树边的路径，必定不经过$idom(u)$。

Lemma 4: 对于任意一点$u̸=r$，$sdom(u)$为$u$在dfs树上的祖先。

Proof: 若不是祖先，若其dfs序小于$u$的dfs序，则dfs时必定会经过$sdom(u)$而到达$u$，此时$sdom(u)$就是$u$的祖先，产生矛盾；否则，则可以找到一个点$w$为$sdom(u)$在dfs树上的祖先，路径$w\to sdom(u)\to u$是一条满足定义的路径，并且$w$的dfs序小于$sdom(u)$的dfs序，产生矛盾。

Lemma 5: 对于任意一点$u̸=r$，$idom(u)$为$sdom(u)$在dfs树上的祖先。

Proof: 若不是祖先，则可以找到一条$r\to sdom(u)\to u$的路径，其中$r\to sdom(u)$经过dfs树边，显然不经过$idom(u)$；$sdom(u)\to u$这段路径上任意一个点的dfs序大于$u$，由于Lemma 3，这段路径也不经过$idom(u)$，因此找到了一条路径可以绕过$idom(u)$，产生矛盾。

Lemma 6: 对于任意两点$u̸=r,v̸=r$，若$u$是$v$的祖先，则$u$是$idom(v)$的祖先或$idom(v)$是$idom(u)$的祖先（上面两种情况都可以相等）。

Proof: 否则$idom(u)$是$idom(v)$的祖先，$idom(v)$是$u$的祖先，那么存在一条路径能绕过$idom(v)$而到达$u$进而到达$v$，产生矛盾。

Theorem 2: 对于任意一点$u̸=r$，若$sdom(u)\to u$只经过树边的路径上，不包括$sdom(u)$的任意一点$v$都满足$sdom(u)$是$sdom(v)$的祖先或二者相等，则$idom(u)=sdom(u)$。

Proof: 由Lemma 5，若$sdom(u)$支配$u$，则$idom(u)=sdom(u)$。对$r\to u$的任意一条路径，取dfs序最大的点$w$满足$w$是$sdom(u)$的祖先；取dfs序最小的点$x$，满足$sdom(u)$是$x$的祖先或二者相等，容易发现这样的点必定存在。那么$sdom(x)$的就是$w$，但是$w$是$sdom(u)$的祖先，因此$x=sdom(u)$，那么任何$r\to u$的路径必定经过$sdom(u)$，因此$sdom(u)$支配$u$。

Theorem 3: 对于任意一点$u̸=r$，若$sdom(u)\to u$只经过树边的路径上，不包括$sdom(u)$的点中，对于$sdom(v)$的dfs序最小的$v$，满足$sdom(v)$是$sdom(u)$的祖先，那么$idom(u)=idom(v)$。

Proof: 由Lemma 5和Lemma 6，$idom(u)$是$idom(v)$的祖先或二者相等。因此只要证明$idom(v)$支配$u$即可。类似Theorem 2的证明，取$w$为$idom(v)$的祖先，$x$为$idom(v)$的后代或二者相等，那么$sdom(x)$为$w$，又由于$sdom(v)$是最大的，因此$x$不可能是$sdom(u)$的后代；若$x$是$sdom(u)$的祖先或相等，但是是$idom(v)$的后代，那么就找到了一条绕过$idom(v)$而到达$v$的路径。因此$x$就是$idom(v)$。那么所有路径都经过$idom(v)$，因此$idom(v)$支配$u$。

由Theorem 2和Theorem 3，我们可以轻松的由$sdom$求出$idom$了。

Theorem 4: 对于任意一点$u̸=r$，$sdom(u)$是满足下列条件两条件的dfs序最小的$x$：1. 存在一条边$x\to u$且$x$的dfs序小于$u$的dfs序；2. $x=sdom(v)$，$v$的dfs序大于$u$的dfs序，并且存在一个点$w$满足存在一条边$w\to u$且$v$是$w$的祖先或相等。

Proof: 显然对于每一个$x$，都存在一条满足$sdom$要求的路径。由于$sdom(u)$后面的点dfs序一定大于等于$u$，取$sdom(u)$的后面一个点$v$，那么$sdom(v)$的dfs序必定等于$sdom(u)$，并且$v$符合上述条件。

由Theorem 4可以很方便的求出$sdom$。

具体实现

以dfs序的倒序枚举每个点，假设有一个数据结构，支持：将一个点作为另外一个点的父亲；查询这个点到根的$sdom$最小值。

设当前枚举的点为$u$，可以枚举$u$的前驱$x$，那么$sdom(u)$就是$u$的前驱在数据结构上的$sdom$最小值的最小值。

对于$u$的父亲$t$，每个$sdom(w)=t$并且$w$是$u$的后代或二者相等的$w$在数据结构上的$sdom$最小值就是Theorem 2和Theorem 3描述的最小值，直接更新$w$的$idom$即可。

注意Theorem 3中$v$的$idom$可能还没有被更新，那么暂时令$idom(w)=v$，之后若$idom(w)̸=sdom(w)$就更新成$idom(idom(w))$。

数据结构可以采用带权并查集，时间复杂度$O(n\log n)$

代码

//dfn[i]为i的dfs序，idfn[i]是dfs序为i的点，het[i]是i的所有前驱，bkt[i]是所有sdom为i的点
//eval(i)为找到并查集中这个点到父亲的sdom中dfs序最小的那个
int getidom()
{
  for(int i=cnt; i>1; --i)
    {
      int u=idfn[i];
      for(int v:het[u])
        {
          if(!dfn[v])
            {
              continue;
            }
          int w=eval(v);
          if(dfn[sdom[w]]<dfn[sdom[u]])
            {
              sdom[u]=sdom[w];
            }
        }
      bkt[sdom[u]].push_back(u);
      int t=fa[u];
      dsu::fa[u]=t;
      for(int v:bkt[t])
        {
          int w=eval(v);
          idom[v]=(sdom[w]==sdom[v])?t:w;
        }
      bkt[t].clear();
    }
  for(int i=2; i<=cnt; ++i)
    {
      int u=idfn[i];
      idom[u]=(idom[u]==sdom[u])?(idom[u]):(idom[idom[u]]);
    }
  return 0;
}