DBSCAN密度聚类算法

DBSCAN密度聚类算法

DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise，具有噪声的基于密度的聚类方法)是一种很典型的密度聚类算法，和K-Means，BIRCH这些一般只适用于凸样本集的聚类相比，DBSCAN既可以适用于凸样本集，也可以适用于非凸样本集。下面我们就对DBSCAN算法的原理做一个总结。

1. 密度聚类原理

　　　　DBSCAN是一种基于密度的聚类算法（均值漂移是基于密度上升的算法），这类密度聚类算法一般假定类别可以通过样本分布的紧密程度决定。同一类别的样本，他们之间的紧密相连的，也就是说，在该类别任意样本周围不远处一定有同类别的样本存在。

　　　　通过将紧密相连的样本划为一类，这样就得到了一个聚类类别。通过将所有各组紧密相连的样本划为各个不同的类别，则我们就得到了最终的所有聚类类别结果。

2. DBSCAN密度定义

　　　　在上一节我们定性描述了密度聚类的基本思想，本节我们就看看DBSCAN是如何描述密度聚类的。DBSCAN是基于一组邻域来描述样本集的紧密程度的，参数(ϵϵ, MinPts)用来描述邻域的样本分布紧密程度。其中，ϵϵ描述了某一样本的邻域距离阈值，MinPts描述了某一样本的距离为ϵϵ的邻域中样本个数的阈值。

　　　　假设我的样本集是D=(x1,x2,...,xm)(x1,x2,...,xm),则DBSCAN具体的密度描述定义如下：

　　　　1） ϵϵ-邻域：对于xj∈Dxj∈D，其ϵϵ-邻域包含样本集D中与xjxj的距离不大于ϵϵ的子样本集，即Nϵ(xj)={xi∈D|distance(xi,xj)≤ϵ}Nϵ(xj)={xi∈D|distance(xi,xj)≤ϵ}, 这个子样本集的个数记为|Nϵ(xj)||Nϵ(xj)|　

　　　　2) 核心对象：对于任一样本xj∈Dxj∈D，如果其ϵϵ-邻域对应的Nϵ(xj)Nϵ(xj)至少包含MinPts个样本，即如果|Nϵ(xj)|≥MinPts|Nϵ(xj)|≥MinPts，则xjxj是核心对象。　

　　　　3）密度直达：如果xixi位于xjxj的ϵϵ-邻域中，且xjxj是核心对象，则称xixi由xjxj密度直达。注意反之不一定成立，即此时不能说xjxj由xixi密度直达, 除非且xixi也是核心对象。

　　　　4）密度可达：对于xixi和xjxj,如果存在样本样本序列p1,p2,...,pTp1,p2,...,pT,满足p1=xi,pT=xjp1=xi,pT=xj, 且pt+1pt+1由ptpt密度直达，则称xjxj由xixi密度可达。也就是说，密度可达满足传递性。此时序列中的传递样本p1,p2,...,pT−1p1,p2,...,pT−1均为核心对象，因为只有核心对象才能使其他样本密度直达。注意密度可达也不满足对称性，这个可以由密度直达的不对称性得出。

　　　　5）密度相连：对于xixi和xjxj,如果存在核心对象样本xkxk，使xixi和xjxj均由xkxk密度可达，则称xixi和xjxj密度相连。注意密度相连关系是满足对称性的。

　　　　从下图可以很容易看出理解上述定义，图中MinPts=5，红色的点都是核心对象，因为其ϵϵ-邻域至少有5个样本。黑色的样本是非核心对象。所有核心对象密度直达的样本在以红色核心对象为中心的超球体内，如果不在超球体内，则不能密度直达。图中用绿色箭头连起来的核心对象组成了密度可达的样本序列。在这些密度可达的样本序列的ϵϵ-邻域内所有的样本相互都是密度相连的。

　　　　有了上述定义，DBSCAN的聚类定义就简单了。

3. DBSCAN密度聚类思想

　　　　DBSCAN的聚类定义很简单：由密度可达关系导出的最大密度相连的样本集合，即为我们最终聚类的一个类别，或者说一个簇。

　　　　这个DBSCAN的簇里面可以有一个或者多个核心对象。如果只有一个核心对象，则簇里其他的非核心对象样本都在这个核心对象的ϵϵ-邻域里；如果有多个核心对象，则簇里的任意一个核心对象的ϵϵ-邻域中一定有一个其他的核心对象，否则这两个核心对象无法密度可达。这些核心对象的ϵϵ-邻域里所有的样本的集合组成的一个DBSCAN聚类簇。

　　　　那么怎么才能找到这样的簇样本集合呢？DBSCAN使用的方法很简单，它任意选择一个没有类别的核心对象作为种子，然后找到所有这个核心对象能够密度可达的样本集合，即为一个聚类簇。接着继续选择另一个没有类别的核心对象去寻找密度可达的样本集合，这样就得到另一个聚类簇。一直运行到所有核心对象都有类别为止。

　　　　基本上这就是DBSCAN算法的主要内容了，是不是很简单？但是我们还是有三个问题没有考虑。

　　　　第一个是一些异常样本点或者说少量游离于簇外的样本点，这些点不在任何一个核心对象在周围，在DBSCAN中，我们一般将这些样本点标记为噪音点。

　　　　第二个是距离的度量问题，即如何计算某样本和核心对象样本的距离。在DBSCAN中，一般采用最近邻思想，采用某一种距离度量来衡量样本距离，比如欧式距离。这和KNN分类算法的最近邻思想完全相同。对应少量的样本，寻找最近邻可以直接去计算所有样本的距离，如果样本量较大，则一般采用KD树或者球树来快速的搜索最近邻。如果大家对于最近邻的思想，距离度量，KD树和球树不熟悉，建议参考之前写的另一篇文章K近邻法(KNN)原理小结。

　　　　第三种问题比较特殊，某些样本可能到两个核心对象的距离都小于ϵϵ，但是这两个核心对象由于不是密度直达，又不属于同一个聚类簇，那么如果界定这个样本的类别呢？一般来说，此时DBSCAN采用先来后到，先进行聚类的类别簇会标记这个样本为它的类别。也就是说BDSCAN的算法不是完全稳定的算法。

4. DBSCAN聚类算法

　　　　下面我们对DBSCAN聚类算法的流程做一个总结。

　　　　输入：样本集D=(x1,x2,...,xm)(x1,x2,...,xm)，邻域参数(ϵ,MinPts)(ϵ,MinPts), 样本距离度量方式

　　　　输出： 簇划分C.　

　　　　1）初始化核心对象集合Ω=∅Ω=∅, 初始化聚类簇数k=0，初始化未访问样本集合ΓΓ = D,  簇划分C = ∅∅

　　　　2) 对于j=1,2,...m, 按下面的步骤找出所有的核心对象：

　　　　　　a) 通过距离度量方式，找到样本xjxj的ϵϵ-邻域子样本集Nϵ(xj)Nϵ(xj)

　　　　　　b) 如果子样本集样本个数满足|Nϵ(xj)|≥MinPts|Nϵ(xj)|≥MinPts， 将样本xjxj加入核心对象样本集合：Ω=Ω∪{xj}Ω=Ω∪{xj}

　　　　3）如果核心对象集合Ω=∅Ω=∅，则算法结束，否则转入步骤4.

　　　　4）在核心对象集合ΩΩ中，随机选择一个核心对象oo，初始化当前簇核心对象队列Ωcur={o}Ωcur={o}, 初始化类别序号k=k+1，初始化当前簇样本集合Ck={o}Ck={o}, 更新未访问样本集合Γ=Γ−{o}Γ=Γ−{o}

　　　　5）如果当前簇核心对象队列Ωcur=∅Ωcur=∅，则当前聚类簇CkCk生成完毕, 更新簇划分C={C1,C2,...,Ck}{C1,C2,...,Ck}, 更新核心对象集合Ω=Ω−CkΩ=Ω−Ck， 转入步骤3。

　　　　6）在当前簇核心对象队列ΩcurΩcur中取出一个核心对象o′o′,通过邻域距离阈值ϵϵ找出所有的ϵϵ-邻域子样本集Nϵ(o′)Nϵ(o′)，令Δ=Nϵ(o′)∩ΓΔ=Nϵ(o′)∩Γ, 更新当前簇样本集合Ck=Ck∪ΔCk=Ck∪Δ, 更新未访问样本集合Γ=Γ−ΔΓ=Γ−Δ, 转入步骤5.

　　　　输出结果为： 簇划分C={C1,C2,...,Ck}{C1,C2,...,Ck}

5. DBSCAN小结

　　　　和传统的K-Means算法相比，DBSCAN最大的不同就是不需要输入类别数k，当然它最大的优势是可以发现任意形状的聚类簇，而不是像K-Means，一般仅仅使用于凸的样本集聚类。同时它在聚类的同时还可以找出异常点，这点和BIRCH算法类似。

　　　　那么我们什么时候需要用DBSCAN来聚类呢？一般来说，如果数据集是稠密的，并且数据集不是凸的，那么用DBSCAN会比K-Means聚类效果好很多。如果数据集不是稠密的，则不推荐用DBSCAN来聚类。

　　　　下面对DBSCAN算法的优缺点做一个总结。

　　　　DBSCAN的主要优点有：

　　　　1） 可以对任意形状的稠密数据集进行聚类，相对的，K-Means之类的聚类算法一般只适用于凸数据集。

　　　　2） 可以在聚类的同时发现异常点，对数据集中的异常点不敏感。

　　　　3） 聚类结果没有偏倚，相对的，K-Means之类的聚类算法初始值对聚类结果有很大影响。

　　　　DBSCAN的主要缺点有：

　　　　1）如果样本集的密度不均匀、聚类间距差相差很大时，聚类质量较差，这时用DBSCAN聚类一般不适合。

　　　　2） 如果样本集较大时，聚类收敛时间较长，此时可以对搜索最近邻时建立的KD树或者球树进行规模限制来改进。

　　　　3） 调参相对于传统的K-Means之类的聚类算法稍复杂，主要需要对距离阈值ϵϵ，邻域样本数阈值MinPts联合调参，不同的参数组合对最后的聚类效果有较大影响。

　K近邻法(k-nearest neighbors,KNN)是一种很基本的机器学习方法了，在我们平常的生活中也会不自主的应用。比如，我们判断一个人的人品，只需要观察他来往最密切的几个人的人品好坏就可以得出了。这里就运用了KNN的思想。KNN方法既可以做分类，也可以做回归，这点和决策树算法相同。

　　　　KNN做回归和分类的主要区别在于最后做预测时候的决策方式不同。KNN做分类预测时，一般是选择多数表决法，即训练集里和预测的样本特征最近的K个样本，预测为里面有最多类别数的类别。而KNN做回归时，一般是选择平均法，即最近的K个样本的样本输出的平均值作为回归预测值。由于两者区别不大，虽然本文主要是讲解KNN的分类方法，但思想对KNN的回归方法也适用。由于scikit-learn里只使用了蛮力实现(brute-force)，KD树实现(KDTree)和球树(BallTree)实现，本文只讨论这几种算法的实现原理。其余的实现方法比如BBF树，MVP树等，在这里不做讨论。

1. KNN算法三要素

　　　　KNN算法我们主要要考虑三个重要的要素，对于固定的训练集，只要这三点确定了，算法的预测方式也就决定了。这三个最终的要素是k值的选取，距离度量的方式和分类决策规则。

　　　　对于分类决策规则，一般都是使用前面提到的多数表决法。所以我们重点是关注与k值的选择和距离的度量方式。

 

　　　　对于k值的选择，没有一个固定的经验，一般根据样本的分布，选择一个较小的值，可以通过交叉验证选择一个合适的k值。

　　　　选择较小的k值，就相当于用较小的领域中的训练实例进行预测，训练误差会减小，只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用，与此同时带来的问题是泛化误差会增大，换句话说，K值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合；
　　　　选择较大的k值，就相当于用较大领域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少泛化误差，但缺点是训练误差会增大。这时候，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测器作用，使预测发生错误，且K值的增大就意味着整体的模型变得简单。
　　　　一个极端是k等于样本数m，则完全没有分类，此时无论输入实例是什么，都只是简单的预测它属于在训练实例中最多的类，模型过于简单。

 

　　　　对于距离的度量，我们有很多的距离度量方式，但是最常用的是欧式距离，即对于两个n维向量x和y，两者的欧式距离定义为：

D(x,y)=(x1−y1)2+(x2−y2)2+...+(xn−yn)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=∑i=1n(xi−yi)2−−−−−−−−−−√D(x,y)=(x1−y1)2+(x2−y2)2+...+(xn−yn)2=∑i=1n(xi−yi)2

　　　　大多数情况下，欧式距离可以满足我们的需求，我们不需要再去操心距离的度量。

　　　　当然我们也可以用他的距离度量方式。比如曼哈顿距离，定义为：

D(x,y)=|x1−y1|+|x2−y2|+...+|xn−yn|=∑i=1n|xi−yi|D(x,y)=|x1−y1|+|x2−y2|+...+|xn−yn|=∑i=1n|xi−yi|

　　　　更加通用点，比如闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)，定义为：

D(x,y)=(|x1−y1|)p+(|x2−y2|)p+...+(|xn−yn|)p−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√p=∑i=1n(|xi−yi|)p−−−−−−−−−−−√pD(x,y)=(|x1−y1|)p+(|x2−y2|)p+...+(|xn−yn|)pp=∑i=1n(|xi−yi|)pp

　　　　可以看出，欧式距离是闵可夫斯基距离距离在p=2时的特例，而曼哈顿距离是p=1时的特例。

2. KNN算法蛮力实现

　　　　从本节起，我们开始讨论KNN算法的实现方式。首先我们看看最想当然的方式。

　　　　既然我们要找到k个最近的邻居来做预测，那么我们只需要计算预测样本和所有训练集中的样本的距离，然后计算出最小的k个距离即可，接着多数表决，很容易做出预测。这个方法的确简单直接，在样本量少，样本特征少的时候有效。但是在实际运用中很多时候用不上，为什么呢？因为我们经常碰到样本的特征数有上千以上，样本量有几十万以上，如果我们这要去预测少量的测试集样本，算法的时间效率很成问题。因此，这个方法我们一般称之为蛮力实现。比较适合于少量样本的简单模型的时候用。

　　　　既然蛮力实现在特征多，样本多的时候很有局限性，那么我们有没有其他的好办法呢？有！这里我们讲解两种办法，一个是KD树实现，一个是球树实现。

3. KNN算法之KD树实现原理

　　　　KD树算法没有一开始就尝试对测试样本分类，而是先对训练集建模，建立的模型就是KD树，建好了模型再对测试集做预测。所谓的KD树就是K个特征维度的树，注意这里的K和KNN中的K的意思不同。KNN中的K代表最近的K个样本，KD树中的K代表样本特征的维数。为了防止混淆，后面我们称特征维数为n。

　　　　KD树算法包括三步，第一步是建树，第二部是搜索最近邻，最后一步是预测。

3.1 KD树的建立

　　　　我们首先来看建树的方法。KD树建树采用的是从m个样本的n维特征中，分别计算n个特征的取值的方差，用方差最大的第k维特征nknk来作为根节点。对于这个特征，我们选择特征nknk的取值的中位数nkvnkv对应的样本作为划分点，对于所有第k维特征的取值小于nkvnkv的样本，我们划入左子树，对于第k维特征的取值大于等于nkvnkv的样本，我们划入右子树，对于左子树和右子树，我们采用和刚才同样的办法来找方差最大的特征来做更节点，递归的生成KD树。

　　　　具体流程如下图：

　　　　比如我们有二维样本6个，{(2,3)，(5,4)，(9,6)，(4,7)，(8,1)，(7,2)}，构建kd树的具体步骤为：

　　　　1）找到划分的特征。6个数据点在x，y维度上的数据方差分别为6.97，5.37，所以在x轴上方差更大，用第1维特征建树。

　　　　2）确定划分点（7,2）。根据x维上的值将数据排序，6个数据的中值(所谓中值，即中间大小的值)为7，所以划分点的数据是（7,2）。这样，该节点的分割超平面就是通过（7,2）并垂直于：划分点维度的直线x=7；

　　　　3）确定左子空间和右子空间。 分割超平面x=7将整个空间分为两部分：x<=7的部分为左子空间，包含3个节点={(2,3),(5,4),(4,7)}；另一部分为右子空间，包含2个节点={(9,6)，(8,1)}。

　　　　4）用同样的办法划分左子树的节点{(2,3),(5,4),(4,7)}和右子树的节点{(9,6)，(8,1)}。最终得到KD树。

 

　　　　最后得到的KD树如下：

3.2 KD树搜索最近邻　　

　　　　当我们生成KD树以后，就可以去预测测试集里面的样本目标点了。对于一个目标点，我们首先在KD树里面找到包含目标点的叶子节点。以目标点为圆心，以目标点到叶子节点样本实例的距离为半径，得到一个超球体，最近邻的点一定在这个超球体内部。然后返回叶子节点的父节点，检查另一个子节点包含的超矩形体是否和超球体相交，如果相交就到这个子节点寻找是否有更加近的近邻,有的话就更新最近邻。如果不相交那就简单了，我们直接返回父节点的父节点，在另一个子树继续搜索最近邻。当回溯到根节点时，算法结束，此时保存的最近邻节点就是最终的最近邻。

　　　　从上面的描述可以看出，KD树划分后可以大大减少无效的最近邻搜索，很多样本点由于所在的超矩形体和超球体不相交，根本不需要计算距离。大大节省了计算时间。

　　　　我们用3.1建立的KD树，来看对点(2,4.5)找最近邻的过程。

　　　　先进行二叉查找，先从（7,2）查找到（5,4）节点，在进行查找时是由y = 4为分割超平面的，由于查找点为y值为4.5，因此进入右子空间查找到（4,7），形成搜索路径<(7,2)，(5,4)，(4,7)>，但 （4,7）与目标查找点的距离为3.202，而（5,4）与查找点之间的距离为3.041，所以（5,4）为查询点的最近点； 以（2，4.5）为圆心，以3.041为半径作圆，如下图所示。可见该圆和y = 4超平面交割，所以需要进入（5,4）左子空间进行查找，也就是将（2,3）节点加入搜索路径中得<(7,2)，(2,3)>；于是接着搜索至（2,3）叶子节点，（2,3）距离（2,4.5）比（5,4）要近，所以最近邻点更新为（2，3），最近距离更新为1.5；回溯查找至（5,4），直到最后回溯到根结点（7,2）的时候，以（2,4.5）为圆心1.5为半径作圆，并不和x = 7分割超平面交割，如下图所示。至此，搜索路径回溯完，返回最近邻点（2,3），最近距离1.5。

　　　　对应的图如下：

　　　　

3.3 KD树预测　

　　　　有了KD树搜索最近邻的办法，KD树的预测就很简单了，在KD树搜索最近邻的基础上，我们选择到了第一个最近邻样本，就把它置为已选。在第二轮中，我们忽略置为已选的样本，重新选择最近邻，这样跑k次，就得到了目标的K个最近邻，然后根据多数表决法，如果是KNN分类，预测为K个最近邻里面有最多类别数的类别。如果是KNN回归，用K个最近邻样本输出的平均值作为回归预测值。

4. KNN算法之球树实现原理

　　　　KD树算法虽然提高了KNN搜索的效率，但是在某些时候效率并不高，比如当处理不均匀分布的数据集时,不管是近似方形，还是矩形，甚至正方形，都不是最好的使用形状，因为他们都有角。一个例子如下图：

　　　　如果黑色的实例点离目标点星点再远一点，那么虚线圆会如红线所示那样扩大，导致与左上方矩形的右下角相交，既然相 交了，那么就要检查这个左上方矩形，而实际上，最近的点离星点的距离很近，检查左上方矩形区域已是多余。于此我们看见，KD树把二维平面划分成一个一个矩形，但矩形区域的角却是个难以处理的问题。

　　　　为了优化超矩形体导致的搜索效率的问题，牛人们引入了球树，这种结构可以优化上面的这种问题。

　　　　我们现在来看看球树建树和搜索最近邻的算法。

4.1 球树的建立

　　　　球树，顾名思义，就是每个分割块都是超球体，而不是KD树里面的超矩形体。

　　　　我们看看具体的建树流程：

　　　　1) 先构建一个超球体，这个超球体是可以包含所有样本的最小球体。

　　　　2) 从球中选择一个离球的中心最远的点，然后选择第二个点离第一个点最远，将球中所有的点分配到离这两个聚类中心最近的一个上，然后计算每个聚类的中心，以及聚类能够包含它所有数据点所需的最小半径。这样我们得到了两个子超球体，和KD树里面的左右子树对应。

　　　　3)对于这两个子超球体，递归执行步骤2). 最终得到了一个球树。

　　　　可以看出KD树和球树类似，主要区别在于球树得到的是节点样本组成的最小超球体，而KD得到的是节点样本组成的超矩形体，这个超球体要与对应的KD树的超矩形体小，这样在做最近邻搜索的时候，可以避免一些无谓的搜索。

4.2 球树搜索最近邻

　　　　  使用球树找出给定目标点的最近邻方法是首先自上而下贯穿整棵树找出包含目标点所在的叶子，并在这个球里找出与目标点最邻近的点，这将确定出目标点距离它的最近邻点的一个上限值，然后跟KD树查找一样，检查兄弟结点，如果目标点到兄弟结点中心的距离超过兄弟结点的半径与当前的上限值之和，那么兄弟结点里不可能存在一个更近的点；否则的话，必须进一步检查位于兄弟结点以下的子树。

　　　　检查完兄弟节点后，我们向父节点回溯，继续搜索最小邻近值。当回溯到根节点时，此时的最小邻近值就是最终的搜索结果。

　　　　从上面的描述可以看出，KD树在搜索路径优化时使用的是两点之间的距离来判断，而球树使用的是两边之和大于第三边来判断，相对来说球树的判断更加复杂，但是却避免了更多的搜索，这是一个权衡。

5. KNN算法的扩展

　　　　这里我们再讨论下KNN算法的扩展，限定半径最近邻算法。

　　　　有时候我们会遇到这样的问题，即样本中某系类别的样本非常的少，甚至少于K，这导致稀有类别样本在找K个最近邻的时候，会把距离其实较远的其他样本考虑进来，而导致预测不准确。为了解决这个问题，我们限定最近邻的一个最大距离，也就是说，我们只在一个距离范围内搜索所有的最近邻，这避免了上述问题。这个距离我们一般称为限定半径。

　　　　接着我们再讨论下另一种扩展，最近质心算法。这个算法比KNN还简单。它首先把样本按输出类别归类。对于第 L类的ClCl个样本。它会对这ClCl个样本的n维特征中每一维特征求平均值，最终该类别所有维度的n个平均值形成所谓的质心点。对于样本中的所有出现的类别，每个类别会最终得到一个质心点。当我们做预测时，仅仅需要比较预测样本和这些质心的距离，最小的距离对于的质心类别即为预测的类别。这个算法通常用在文本分类处理上。

6. KNN算法小结

　　　　KNN算法是很基本的机器学习算法了，它非常容易学习，在维度很高的时候也有很好的分类效率，因此运用也很广泛，这里总结下KNN的优缺点。

 

　　　　KNN的主要优点有：

　　　　1） 理论成熟，思想简单，既可以用来做分类也可以用来做回归

　　　　2） 可用于非线性分类

　　　　3） 训练时间复杂度比支持向量机之类的算法低，仅为O(n)

　　　　4） 和朴素贝叶斯之类的算法比，对数据没有假设，准确度高，对异常点不敏感

　　　　5） 由于KNN方法主要靠周围有限的邻近的样本，而不是靠判别类域的方法来确定所属类别的，因此对于类域的交叉或重叠较多的待分样本集来说，KNN方法较其他方法更为适合

　　　　6）该算法比较适用于样本容量比较大的类域的自动分类，而那些样本容量较小的类域采用这种算法比较容易产生误分

　　　　

　　　　KNN的主要缺点有：

　　　　1）计算量大，尤其是特征数非常多的时候

　　　　2）样本不平衡的时候，对稀有类别的预测准确率低

　　　　3）KD树，球树之类的模型建立需要大量的内存

　　　　4）使用懒散学习方法，基本上不学习，导致预测时速度比起逻辑回归之类的算法慢

　　　　5）相比决策树模型，KNN模型可解释性不强

　　　　以上就是KNN算法原理的一个总结，希望可以帮到朋友们，尤其是在用scikit-learn学习KNN的朋友们。

 转自：http://www.cnblogs.com/pinard/p/6061661.html

转自：https://www.cnblogs.com/zhengxingpeng/p/6670486.html