数值分析总结

数值分析第一章

1，相对误差和绝对误差

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$$e^{\ast }=x^{\ast }-x$$

$$e_r^{\ast }=\frac{(x^{\ast }-x)}{x^{\ast }}（一般使用估计值\frac{x^{\ast }-x}{x}）$$

2，误差限和相对误差限

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$${\epsilon }^{\ast }\ge |x^{\ast }-x|$$

$${\epsilon }_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}$$

3,有效数字

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若近似值$x$ 的 误差限 是某一位的半个单位，该位到 $x$ 的第一位非零有效数字共有 n 位，就说$x$有n位有效数字。

数$x$总可以写成
$$x=\pm 0.a_1{a}_2\cdots a_k\times 10^m$$
式子中，$m$是整数，$a_i(i=1,2\cdots k)$ 是0$\cdots$9中的一个数字。$a_i\neq0$。可以推出具有$n$位有效数字当且仅当的数满足如下等式：
$$|x^{\ast }-x|\le \frac{1}{2}\times 10^{m-n}$$

例题 ：

p5

4,数值计算中的若干原则

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（1）避免两个相近的数相减

（2） 防止大数吃掉“小数”

（3）绝对值太小的数不宜作除数

（4）注意简化程序，减少计算次数

（5）选用数值稳定性好的算法

数值分析第四章-非线性方程求根

1 ，二分法

不断缩小区间的原理,满足如下公式：
$$\frac{b-a}{2^k}\le \epsilon$$
即可认为$x^k\approx \alpha$

2 ,简单迭代法

简单迭代法的收敛条件

定理4.1

设迭代函数$\varphi (x)\in C^{\prime }[a,b]$,且满足

（1）$a\le \varphi (x)\le b,\forall x\in [a,b]$

（2）$ |\phi(x)\leq L <1|$$\Rightarrow Lipschitz条件(|f(x)-f(y)|\le L|x-y|,\forall x,y\in [a,b])$

则方程在$x=\phi(x) $上有唯一跟$\alpha$，且对任意初始值$x_0\in[a,b]$，由迭代格式$x_{k+1}=\phi(x_k)$产生的迭代序列${ x_k}$收敛与$a$误差估计如下：
$$|x_k-a|\le \frac{L}{1-L}|x_k-x_{k-1}|k\in 1,2,3\cdots$$

$$|x_k-a|\le \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|k\in 1,2,3\cdots$$

局部收敛性：设 $a=\varphi (a),\varphi (x)在a邻域上具有一阶连续倒数，且|{\varphi }^{\prime }(a)|<1$ 则称迭代法具有局部收敛性
$$k>\frac{ln\frac{\epsilon (1-L)}{|x_1-x_0|}}{lnL}$$

定义 4.4

设迭代序列 $\{x_k\}$收敛于$a$,记误差${\epsilon }_k=x_k-a$如果存在正实数和非零常数C,使得
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{|{\epsilon }_{k+1}|}{|{\epsilon }_k{|}^p}=C$$
则称序列p阶收敛，c是渐进误差常数.p=1称为线性收敛，p>1超线性收敛；p=2称为平方收敛${\varphi }^{\prime }(a)̸=0$时，简单迭代法只具有线性收敛.

定理4.2

设${\varphi }^{\prime }(a)={\varphi }^{\prime \prime }(a)=...={\varphi }^{(m-1)}(a)=0$ 则迭代法时m阶收敛的
$$\varphi (x_k)=\varphi (a)+{\varphi }^{\prime }(a)(x_k-a)+\frac{1}{2}{\varphi }^{\prime \prime }(a)(x_k-a{)}^2+\cdots +\frac{1}{(m-1)!}{\varphi }^{m-1}(a)(x_k-a{)}^{m-1}+\frac{1}{m!}{\varphi }^m({\xi }_k)(x_k-a{)}^m$$
所以
$$|e_{k+1}|=|x_{k+1}-a|=|\varphi (x_k)-\varphi (a)|=\frac{1}{m!}|{\varphi }^m({\xi }_k)||e_k{|}^m$$
于是
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{|e_{k+1}|}{|e_k{|}^m}=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1}{m!}|{\varphi }^m({\xi }_k)|=\frac{1}{m!}|{\varphi }^m(a)|̸=0$$

3，牛顿迭代法（切线法）

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)},k=0,1,2,\cdots$$

定理4.6

设fx在单根a附近有二阶连续导数，则对于充分接近a的初值x0，Newton迭代法产生的序列{xk}收敛于a，并且
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{x_{k+1}-a}{(x_k-a{)}^2}=\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2f^{\prime }(a)}$$