51nod 1630（定积分 + 期望）

51nod1630

1. 每个人进入竞技场后，会等概率随机匹配一个人，匹配到的人与当前胜利和失败场数无关。
2. 胜利达到x场，或失败达到y场后，退出竞技场，根据退出时的胜利场数获得奖励，不能中途放弃。
3. 水平高的选手，总能战胜水平低的选手，不存在水平相等的人。
4. 竞技场有无穷多的人。

某人水平在所有人中等概率，等求退出的期望胜利场数。

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Solution

​一道妙题。

观察题目，可以发现因为有无穷多的人，所以如果当你的水平确定下来后，胜率的改变可以忽略不计，例如如果有\(n\)个人，那么你\(i\)水平的胜率就是\(\frac{i-1}{n}\)。

​如果我们确定了一个胜率，这题则十分的容易在一个dp时间复杂度解决。

然而胜率可以看做是\([0,1]\)区间上的任意小数，根据定积分的思想，我们把区间分成尽量多的段数，然后取平均值作为答案。但这样的时间复杂度与精度不能同时保障。

考虑把dp看做一个多项式，一个关于胜率p的多项式，我们可以在最后把\(p\)带进去，这样时间复杂度可以通过\(n\le 10,m\le 10\)的所有数据。

在\(100\%\)的数据下，\(n,m\le 20\)，此时我们需要用到定积分的求解公式，像这样：

void Doit(db a[], int win) {
    db sum = 0;
    F(i, 1, a[0])
        sum += a[i] / i;
    Ans = Ans + sum * win;
}

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