ccf201312-4有趣的数，递推

http://115.28.138.223/view.page?gpid=T2

问题描述

　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

4

样例输出

3

0在1之前，2在3之前，0123至少出现一次。由题意开头的数只能是2。

从最高位开始，一位一位的递推，不过需要递推多个情况来得出结论。

根据条件，第i位（i>0）可能出现的情况有：

假设第i位已知	前i位之前出现的数 （其他在第i位数之前未出现）
	0	因为第一位为2，所以必然有2出现
	0,1
a[i]	2	a[i+1]	=	a[i]
b[i]	0,2	b[i+1]	=	b[i]+b[i]+a[i]
c[i]	2,3	c[i+1]	=	c[i]+a[i]
d[i]	0,2,1	d[i+1]	=	d[i]+d[i]+b[i]
e[i]	0,2,3	e[i+1]	=	e[i]+e[i]+c[i]+b[i]
f[i]	2,3,0,1	f[i+1]	=	f[i]+f[i]+d[i]+e[i]

以此得到递推公式。

另外，可以通过数列的相关知识，求得一个f[i]关于i的公式，将算法的复杂度直接从O(n)降到O(1)，这大概才是最佳的答案吧。

题目得到的结果比较大，可以边加边求余，不影响结果。

C语言代码

#include 

long long a,b,c,d,e,f;
long long ta,tb,tc,td,te,tf;

int main(){
    int i=0,num;
    a=b=c=d=e=f=g=h=0;

    a++;//第一位为2
    scanf("%d",&num);
    for(i=1;i