贝叶斯定理和二项概率分布解决一个问题

问题:假设有两个各装了100个球的箱子，甲箱子中有70个红球，30个绿球，乙箱子中有30个红球，70个绿球。假设随机选择其中一个箱子，从中拿出一个球记下球色再放回原箱子，如此重复12次，记录得到8次红球，4次绿球。问题来了，你认为被选择的箱子是甲箱子的概率有多大？

令事件A为从黑箱子取球,B为从箱子中取出8红4绿,则

P(A)=1/2 ,P(B)=1/2C(6,10)(0.7)^8(0.3)^4+1/2C(6,10)(0.3)^8(0.7)^4  

P(B|A)=C(6,10)(0.7)^8(0.3)^4

这里根据分类计数原理,P(B)=从甲箱子取球的概率+从乙箱子取球的概率  根据二项概率分布,选择甲箱子,独立重复拿出8次红球,4次绿球的概率为C(6,10)(0.7)^8(0.3)^4=0.09805926501

根据贝叶斯公式 P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)=C(6,10)(0.7)^8(0.3)^4 * 1/2 /[1/2C(6,10)(0.7)^8(0.3)^4+1/2C(6,10)(0.3)^8(0.7)^4  ]=(0.7)^4/[(0.7)^4+(0.3)^4]≈0.967365 即96.74%