图论系列 --- 2. 图的遍历(上)

2 遍历的基本概念

搜索已经成为了获得信息的基本手段，其实搜索从语义上来看 是去某个地方寻找某种信息，如去书架找一本书，这就叫一种搜索，给出了搜索对象 -- 书，也给出了一个行为范围就是整个书架。

图作为一种数据结构，也必须拥有被搜索的能力，

把这两个概念切换到图的领域，通过搜索整个图一次找到某些信息，就是图的遍历，这里面强调的遍历有一个隐含的概念，如果图中的元素(点和边)只被观察过一次就完成了整个遍历，就是一个高效的遍历，如果重复的不停的观察已经观察过的位置，就是不高效的遍历，面对节点间具有复杂关系的图，从什么地方出发，又如何选择下一步遍历的方向，将导致这个遍历办法是否高效.

2.1 遍历"点"还是遍历"边"?

图的信息在哪里? 点和点之间的关系就是信息，也就是说 点和边其实都蕴含着信息。但是根据需求，我们可以把遍历分为，遍历图中的点 和遍历图中的边两种。

2.1.1遍历"点"

随机选一个点A作为遍历的起始点，下一步要确定的是需要遍历的下一个点怎么选，现在我们有了一些信息，就是A的相邻节点(Adj[A])，（以A为起点的边的结尾点Adj[A])，于是我们可以选择其中个点B作为第二步，

找到第三个点的办法：

方法1：

继续上面的思路，找A的邻居点 C in adj[A];

方法 2：

找B的邻居点 C in adj[B];

好了 再找完第三个点之后 我们的思路基本就清晰了，有两种方式完成对图的遍历，一种侧重广度优先(Bread-first)，先把所有的邻居遍历完再去遍历的邻居的邻居，一种侧重深度优先(Depth-first)，先找邻居，然后邻居的邻居，邻居的邻居的邻居....到最深处了 才会罢休。 这是遍历的两种基本思路. 如果能把细节在完善完善就成了基本的BFS(Bread-First Search) 和DFS（Depth-First Search). 图中

2.2 BFS 

上面只是介绍了BFS的基本思路，和写出这个算法还差了很远，因为还有大量的细节问题要考虑。把需要解决的problem && solution 如下:

Problem #1:  怎么才能高效的遍历呢，在最开始说了，争取不要走回头路和绕弯弯，一条路只做过一次，就是最棒的了，但是当你面对一个新地点时，如何知道自己是否来过，人说我就是知道自己来过没有， 我有记忆力啊，但其实记忆力的本质还是信息，所以我们拿出一个变量作为这个点是否被遍历过的信息载体，称之color，没有来过的点统一是white，每到一个新地点，第一件事就先记录一下自己来过，把他的color改成black，当遇到一个新地点的时候，我们就看看他的color是什么颜色就知道自己是否来过了，（这种思想和很多人去旅游景点喜欢写个XXX到此一游的思路一样，我觉得这些人一定有宏伟的周游世界的计划，通过这样的标记技术让自己的周游世界是个高效的遍历）

Problem #2: BFS的思路是先遍历完全部的邻居，然后再遍历邻居的邻居，说起来很简单，但是把这件事具体来说，第一个任务遍历A的邻居adj[A]，假设A有1000个邻居A1，A2.。。A1000，当我们遍历了A1000以后，我们该做的是遍历邻居的邻居了吧，这就要求我们从新回到A1，去看看A1的邻居有什么，这样就2了，因为说好的不走回头路呢，于是更好的办法是那个小本本记得点东西，重新来一遍刚才的过程，从A出发，遍历了adj[A],第一步去到了A1，这会拿出你的小本本记录一下A1的邻居，这样做的好处就不用重新回头去A1在看A1的邻居是谁了，把每步得到的信息量最大化，再仔细想想小本本上的记录顺序呢，更完善 的情况应该是从A出发的时候 就先把A的adj[A]都记录下来 这样记录的第一行信息就是A1，A2.。。。A1000这些都是A的邻居信息，根据这个信息 我们可以走第二步了，第二步我们根据本的提示，找到一个记录A1，去访问了A1，同时在本的最后记录下A1的全部邻居信息 A11,A12.。。。。于是在我们往后遍历的过程中，所有的顺序全部被这个本指导了，我们发现了一个很有意思的现象，先被写在本上的信息 会被先访问，访问一次后要做两件事，把这个访问过的划掉，同时往最后的记录上加上当前节点的所有邻居信息，于是从这个本insert都是插入到结尾，而pop都是从头取出，这就是一个基本的先进先出队列Q，恩 通过这个Q我们控制了访问了的顺序。

Problem #3 考虑一下初始条件，一开始除了我们的出发点，其他所有的点都是没有见过的吧，所以初始点s是black，V-{s}的点都是white。我们在加上两个信息，这样遍历之后我们就能通过这两个信息完成对这个G的一些了解了。 第一个信息是u.π 这个代表了一个节点的父节点，所谓父节点就是如果存在一条边(u,v),如果u先被访问了，v又通过u被访问了，u就是v的父节点。 第二个信息是v.d，v.d = u.d +1;这代表了每个节点到咱们初始点的一个评估距离，这个距离在BFS里是u到s的最小边数，好，那这两个值在初始化的时候怎么设定呢，显然，一步为走的时候，咱们觉得每个点（除了初始点s）都不可达，因为没走呢，不知道啊所以所有的v.d = +∞，所有的v.π （除了初始点s）都不知道 设置为NIL 表示为不知道，初始点s的s.d =0,因为s到s 不需要边对吧，s.π =NIL，既然没有边了，既然也没有父节点，这种问题，就好比问爸爸的爸爸的爸爸的。。。爸爸。。最后关于初始的那个男人他的父亲不好判定吧。

基本问题确定之后开始写伪代码

BFS_OneSource(G,s){//G为图，s为随机的一个起点

//开始初始化

for(v in G.V)

{

v.color =WHITE;

v.d=+∞;

v.π =NIL;

}

//初始化s

s.d =0

s.color =BLACK;

//初始化Q

Q=0；

ENQUEUE(Q,s);

//开始遍历

while(Q≠Ø) //小本本上还要你要去看的地方啊！

{

u = DEQUEQUE(Q,S) //看看第一行是什么

for each v in u.adj

{

if (v.color == WHITE) // 这个点还没去过，记住要高效的遍历，拒绝回头路

{

v.color = BLACK //老子到此一游

v.d=u.d+1

v.π =u //认爸爸

ENQUEUE(Q,v) //记录小本本

}

}

}

}

但是等看了DFS之后就看明白一个事，这个给出的BFS只能是One_Source 的算法，而不是G的基本BFS算法，写的不是很好，因为这个BFS 最后只是建立了一颗以s为roote的tree，如果G是互联的 当然就是一颗树，但是如图也有可能存在单独的点，单独的线， 不相关的很多树，这个算发只能发现一颗，就呵呵了吧，所以要是有时间我会尝试修改一下这个BFS_OneSource to 真BFS，虽然这个只能发现一棵树的BFS在算法导论里被直接成为BFS了吧，但是就是那样，解决的是特定问题。

又看了一遍，发现这个BFS解决的是无向图问题，所以不存在说的上面的问题。。。又naive了

算法复杂度分析

1.初始化V个点 需要时间o(V);

2.遍历的控制是由Q决定的，每个V进出Q一次，所以while的次数是V次 而while内部的for循环，虽然很难计算每一个次数，但是总体上看for就是把E遍历了一遍，所以while这部分的时间是O(V+E)，整体是O（V+V+E），最后是O(V+E)

算法理解

1.从成果来看，BFS一次得到了两个信息，一个是v.d，还有一个是v.π，至于为什么要得到这两个信息，可不可以得到其他的 当然可以了，取决你想要什么。BFS只是一个遍历的思路，至于再遍历过程中你想获得什么信息，自己设定信息位，然后又BFS控制遍历顺序和保证高效遍历获得。BFS只是给出了你一种环游世界的走法，至于你环游世界过后获得了什么，也许有人收集了很多这个世界过程中的美食或者美景的照片，这取决于一开始使用BFS的目的，取决于环游世界的目的，当然也有人什么都不记录，就是遍历了一次，这就是最朴素的遍历思想了。所以BFS才是一个基本工具，提供你一个高效的遍历方法，让你通过这样高效的遍历获得你需要的信息。

2.最近在看NP problem中的broadcasting问题，隐约觉得很多问题抽象出来都是集合的扩张问题，难点是扩张方向的判定，BFS给了一种朴素的解决办法，因为他的边权值就是0或者1，可以扩张和不可以扩张，但是如果权值是正实数，怎么是最优高效的扩张就不是一件这么好判定的事了。

3.BFS和Shortest Path。SPF问题就是上面说的那种问题，权值不在限于0，1了但是BFS确实是只有0,1权值时求SPF的一种办法，因为如果按动态规划DP的思想去考虑BFS，BFS 和DP的核心都是按stage 前进， 确定出每个stage都是最优的走法，BFS把stage看成了是距离s的层数。完全符合DP的思路，即最优子结构。