条件概率的著名谬论

条件概率的著名谬论

条件概率的谬论是假设 P(A|B) 大致等于 P(B|A)。数学家John Allen Paulos 在他的《数学盲》一书中指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。

P(A|B) 与 P(B|A)的关系如下所示：

P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)

下面是一个虚构但写实的例子，P(A|B) 与 P(B|A)的差距可能令人惊讶，同时也相当明显。

若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。而且就算在告知他其实是健康的人后，也可能因此对他的人生有负面影响。

这个问题的重要性，最适合用条件机率的观点来解释。

假设人群中有1%的人罹患此疾病，而其他人是健康的。我们随机选出任一个体，并将患病以disease、健康以well表示：

P(disease) = 1% = 0.01 and P(well) = 99% = 0.99. 假设检验动作实施在未患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阳性（阳性以positive表示）。意即：

P(positive | well) = 1%，而且P(negative | well) = 99%. 最后，假设检验动作实施在患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阴性（阴性以negative表示）。意即：

P(negative | disease) = 1%且P(positive | disease) = 99%。现在，由计算可知：

是整群人中健康、且测定为阴性者的比率。

P(positive|disease) = 99% 是整群人中得病、且测定为阳性者的比率。

是整群人中被测定为假阳性者的比率。

是整群人中被测定为假阴性者的比率。

进一步得出：

是整群人中被测出为阳性者的比率。

P(disease|positive) = 50% 是某人被测出为阳性时，实际上真的得了病的机率。

这个例子里面，我们很轻易可以看出 P(positive|disease)=99% 与 P(disease|positive)=50% 的差距：前者是你得了病，而被检出为阳性的条件机率；后者是你被检出为阳性，而你实际上真得了病的条件机率。由我们在本例中所选的数字，最终结果可能令人难以接受：被测定为阳性者，其中的半数实际上是假阳性。

例如关键词检测的性能：

关键词检测模块性能EER=%	假设所有测试关键词有10k条。实际关键词占比%	实际为非关键词被错检测为关键词的条数	实际为关键词被检测为关键词的条数	所有检测为关键词的条数中，真正为关键词的比例%
30	5	2850	350	10.94
30	7	2790	490	14.94
30	9	2730	630	18.75
30	11	2670	770	22.38
20	5	1900	400	17.39
20	7	1860	560	23.14
20	9	1820	720	28.35
20	11	1780	880	33.08
15	5	1425	425	22.97
15	7	1395	595	29.9
15	9	1365	765	35.92
15	11	1335	935	41.19
10	5	950	450	32.14
10	7	930	630	40.38
10	9	910	810	47.09
10	11	890	990	52.66
5	5	475	475	50
5	7	465	665	58.85
5	9	455	855	65.27
5	11	445	1045	70.13
1	5	95	495	83.9
1	7	93	693	88.17
1	9	91	891	90.73
1	11	89	1089	92.44