图论知识点总结

图的存储

  • 链式前向星

const int maxn = 1005;
int head[maxn], cnt;
struct node
{
	int to;		//这条边的终点 
	int next;	//上一条边的存储下标
	int w;		//权值 
}edge[50005];

//加边 
void add(int u, int v, int w)	//起点u,终点v,权值w 
{
	//cnt从0开始计数,即给边编号 
	edge[cnt].to = v;		//存储该边的终点 
	edge[cnt].next = head[u];	//存储以u为起点的上一条边的编号 
	edge[cnt].w = w;		//存储该边的权值 
	head[u] = cnt++;	//head[u]表示以u为起点的至此出现的最后一条边的编号 
}

//遍历(实际是倒序)
for(int i = head[u]; i; i = edge[i].next)
{
	...... 
} 
  • 邻接矩阵

  • 邻接表


种类并查集

  • 给定多个集合之间的关系,以及多个个体之间的信息;根据这些信息,我们来判断信息的正确与矛盾,或者将个体进行分类。
  • 具体方法是将并查集的容量扩大n倍,用于容纳这多个集合。由于每个元素可能存在于每个集合中,我们关心的只是相对关系,所以具体在哪一个集合中是无关紧要的。(思想类似离散化)
const int maxn = 2010;
struct NODE
{
	int fa;	//father--根节点 
	int rel;//relation--关系(即属于哪个集合) 
} node[maxn];

//初始化 
void Init(int n)	
{
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		node[i].fa = i;
		node[i].rel = 0;
	}	
} 

//查找根节点 
int Find(int x)
{
	if(x==node[x].fa)	return x;
	int fa = node[x].fa;
	node[x].fa = Find(fa);
	node[x].rel = f1(node[x].rel, node[fa].rel);//f1(a, b)表示当前节点与其根节点的集合转换关系 
	return node[x].fa;
}

//判断两个节点的集合关系 
void union_set(int x, int y)
{
    int rootx = Find(x);
	int rooty = Find(y);
	if(rootx!=rooty)	//合并根节点,转换集合关系 
	{
		node[rooty].fa = rootx;
		node[rooty].rel = f2(node[x].rel, node[y].rel);
	}
	else	
	{
		......//题目条件判断 
	}				    
}

Trajan算法

int cnt;	//时间戳 
int scc;	//强连通分量编号 
int stack[maxn];	//栈 
int index;	//栈的序号 
int belong[maxn];	// belong[x]	表示x属于哪个强连通分量
int dfn[maxn];	// dfn[u]	表示u的时间戳 
int low[maxn];	// low[u]	表示u的根节点的时间戳 
int size_[maxn]; 	// size_[scc]	表示编号scc的强连通分量中,有多少个点 
void tarjan(int u)	//实际是DFS 
{
	stack[++index] = u;	//入栈 
	dfn[u] = low[u] = ++cnt;
	int v;
	for(int i=head[u], i, i=edge[i].next)
	{
		v = edge[i].to;
		if(!dfn[v])	//如果没有被访问过 
		{
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		}
		else if(!belong[v])	//如果访问过,并且还在栈里
		{
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		} 
	}
	
	if(low[u]==dfn[u])
	{
		int x;
		++scc;
		while(true)
		{
			x = stack[index--];	//出栈 
			belong[x] = scc;	//x属于第scc个强连通分量 
			size_[scc]++;	//第scc个强连通分量中,点的个数 
			if(x==u)	break;
		}
	}
}
  • 强连通分量(有向图) 

定义:有向图强连通分量:在有向图G中,如果两个顶点vi,vj间(vi>vj)有一条从vi到vj的有向路径,同时还有一条从vj到vi的有向路径,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。(简言之,有向图上的环)

  • 双连通分量(无向图)

定义:双连通分量又分点双连通分量和边双连通分量两种。若一个无向图中的去掉任意一个节点(一条边)都不会改变此图的连通性,即不存在割点(桥),则称作点(边)双连通图。一个无向图中的每一个极大点(边)双连通子图称作此无向图的点(边)双连通分量。求双连通分量可用Tarjan算法。

  • 割点

定义:在一个无向图中,如果有一个顶点集合,删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后,图的连通分量增多,就称这个点集为割点集合。

如果某个割点集合只含有一个顶点X(也即{X}是一个割点集合),那么X称为一个割点

  • 割边(桥)

定义:假设有连通图G,e是其中一条边,如果G-e是不连通的,则边e是图G的一条割边。此情形下,G-e必包含两个连通分支。

  • 割点割边算法

  • 若low[v]>=dfn[u],则u为割点,u和它的子孙形成一个块。因为这说明u的子孙不能够通过其他边到达u的祖先,这样去掉u之后,图必然分裂为两个子图。
  • 若low[v]>dfn[u],则(u,v)为割边。理由类似于上一种情况。

关于tarjan算法比较详细的解读(转) https://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/77488976


生成树

最小生成树

关于最小生成树这篇写得很好理解 https://blog.csdn.net/gettogetto/article/details/53216951

我就把代码贴一下吧

  • Prim算法

#include
#define INF 10000
using namespace std;
const int maxn = 6;
bool vis[maxn];
int dist[maxn];
int graph[maxn][maxn];	//graph[u][v]表示从u到v的权值,INF代表两点之间不可达 
int prim(int cur)
{
    int index = cur;
    int sum = 0;
    cout<graph[index][j])//执行更新,如果点距离当前点的距离更近
                                                //就更新dist
            {
                dist[j] = graph[index][j];
            }
        }
    }
    cout<
  • Kruskal算法

#include
using namespace std;
const int maxn = 7;
typedef struct _node
{
    int val;
    int start;
    int end;
}Node;
Node V[maxn];
int cmp(const void *a, const void *b)
{
    return(*(Node *)a).val - (*(Node *)b).val;
}
int fa[maxn];
int cap[maxn];
 
void make_set()              //初始化集合,让所有的点都各成一个集合,每个集合都只包含自己
{
    for(int i=0; i

(有点并查集的意思)

次小生成树

枚举非树边,删掉以该非树边两端点在树上路径中最大的一条边,并换上这条边然后计算目前答案,最后将所有算出的答案取min(简单带过)

最小度限制生成树

定义:满足定点 的度数  这一条件的生成树称为度限制生成树。把权值和最小的度限制生成树称为最小度限制生成树。

  1. 删掉与  相连的边,得到m个连通块,求出最小m度限制生成树
  2. 由最小m度限制生成树,得到最小m+1度限制生成树:

         枚举所有和 相邻点v,添加边(, v),可知一定会出现一个环。

         删掉环上与 不相连的权值最大的边,计算权值的改变,取最优。

         (环上与 不相连的权值最大的边:Tree DP)

    3. 直到 的度数

最优比率生成树

  • 01分数规划

     

   

   

   

  • 最优比率生成树

   

   

最小树形图

定义:一个有向图的生成树,如果从给定点 出发能到达其余所有点,并且权值和最小的生成树就是最小树形图。

  1. 找到除了 以外其他点的权值最小的入边,记为 in[i] ,如果不存在环则 in[i] 的集合就是最小树形图
  2. 如果存在环则将环缩成一个点,重新计算最小树形图
  3. 直到不存在环

二分图

  • 二分图匹配

  • 匈牙利算法

  • 最小点覆盖

  • 最小路径覆盖

  • 最大独立集

  • Ramsey定理

(还不会,以后更啊)


网络流

定义:在一个有向图上选择一个源点,一个汇点,每一条边上都有一个流量上限(一般称为容量),即经过这条边的流量不能超过这个上界,同时,除源点和汇点外,所有点的入流和出流都相等,而源点只有流出的流,汇点只有汇入的流。这样的图叫做网络流。

源点:只有流出去的点
汇点:只有流进来的点
流量:一条边上流过的流量
容量:一条边上可供流过的最大流量
残量:一条边上的容量-流量

  • 最大流(Dinic算法)

具体可参考 http://www.cnblogs.com/SYCstudio/p/7260613.html

  • 最小割(=最大流)

定义:给定一个网络,如果去掉一些边则无法从源点S到达汇点T,则这些边就是一个割集。容量之和最小的割集叫最小割。

  • 费用流(最小费用最大流)

定义:如果每条边还有一个单位流量的费用cost(u,v),要求在流量最大的前提下总费用最小,这样的问题称之为最小费用最大流。

  1. 设当流量达到v(F)时的最小费用流为F
  2. 找一条费用最小的增广路,得到流量为v(F)+1的最小费用流
  3. 直到流量达到最大,即找不到增广路

反向边的费用:cost(v,u) = -cost(u,v)

第二步:可以直接得到流量为v(F) + Rmin的最小费用流

找费用最小的增广路:SPFA

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