数论 - 质数(素数)基础【 素数的判断 + 试除法分解质因数 + 求1-n之间的素数的三种筛法 】

数论-质数基础

1.素数

素数又称为质数，是指除了1和本身之外，不能被其他数整除的一类数。即对给定的正整数n,如果对任意的正整数a(1

2.素数的判断

试除法

bool is_prime(int x)
{
	if (x < 2) return false;
	for (int i = 2; i <=x / i; i++)
	{
		if (x%i == 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}

for()循环中有三种写法(1). i * i<=n 这样写当n接近int型变量的范围上限时会导致i * i溢出。
(2) i<=sqrt(n) 每次循环都要计算sqrt(n) ,浪费时间。
(3) i<=n/i 这种写法的效率高而且安全。

3.试除法分解质因数

//试除法分解质因数
void divide(int x)
{
	for (int i = 2; i <= x / i; i++)
	{
		if (x%i == 0)
		{
			int s = 0; //统计每个质因数的个数
			while (x%i == 0)
			{
				x /= i;
				s++;
			}
			cout << i << " " << s << endl;
		}
	}
	if (x > 1) cout << x << " " << 1 << endl;  //大于sqrt(n)的质因数只有一个，n本身
	cout << endl;
}

4.筛法求1-n之间的素数

(1).最普通的筛法 O(nlogn)

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉 
void get_primes(){
    for(int i=2;i<=n;i++){

        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;//把素数存起来
        for(int j=i;j<=n;j+=i){//不管是合数还是质数，都用来筛掉后面它的倍数
            st[j]=true;
        }
    }
}

(2).诶氏筛法 O(nloglogn)

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉 
void get_primes(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++]=i;
            for(int j=i;j<=n;j+=i) st[j]=true;//可以用质数就把所有的合数都筛掉；
        }
    }
}

(3).线性筛法 O(n)

用一个合数的最小质因子去筛这个合数

//线性筛法-O(n), n = 1e7的时候基本就比埃式筛法快一倍了
//算法核心：x仅会被其最小质因子筛去
int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉 
void get_primes(int x) {
    for(int i = 2; i <= x; i++) {
        if(!st[i]) prime[cnt++] = i;
        for(int j = 0; prime[j] <= x / i; j++) {
            //对于任意一个合数x，假设pj为x最小质因子，当i
            st[prime[j]*i] = true;
            if(i % prime[j] == 0) break;
            /*
            1.i%pj == 0, pj定为i最小质因子，pj也定为pj*i最小质因子
            2.i%pj != 0, pj定小于i的所有质因子，所以pj也为pj*i最小质因子
            */
        }
    }
} 

5.题目练习

(1) AcWing 866. 试除法判定质数

给定n个正整数ai，判定每个数是否是质数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数ai。
输出格式
共n行，其中第 i 行输出第 i 个正整数ai是否为质数，是则输出“Yes”，否则输出“No”。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
2
2
6
输出样例：
Yes
No
代码

#include
#include
using namespace std;
bool is_prime(int x)
{
	if (x < 2) return false;
	for (int i = 2; i <= x / i; i++)
	{
		if (x%i == 0) return false;
	}
	return true;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		if (is_prime(x))
		{
			cout << "Yes" << endl;
		}
		else
		{
			cout << "No" << endl;
		}
	}
	return 0;
}

(2)AcWing-867. 分解质因数

给定n个正整数ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数ai。
输出格式
对于每个正整数ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。
每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
2
6
8
输出样例：
2 1
3 1
2 3
代码

//试除法分解质因数
#include
#include
using namespace std;
void divide(int x)
{
	for (int i = 2; i <= x / i; i++)
	{
		if (x%i == 0)
		{
			int s = 0; //统计每个质因数的个数
			while (x%i == 0)
			{
				x /= i;
				s++;
			}
			cout << i << " " << s << endl;
		}
	}
	if (x > 1) cout << x << " " << 1 << endl;  //大于sqrt(n)的质因数只有一个，n本身
	cout << endl;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		divide(x);
	}
	return 0;
}

(3)AcWing-868. 筛质数

给定一个正整数n，请你求出1~n中质数的个数。
输入格式
共一行，包含整数n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中质数的个数。
数据范围
1≤n≤106
输入样例：
8
输出样例：
4
代码

#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
int primes[maxn],cnt; //存储所有素数
bool st[maxn];  //st[x]存储x是否被筛掉
//朴素筛法
//void get_primes(int n)
//{
//	for (int i = 2; i <= n; i++)
//	{
//		if (!st[i])  primes[cnt++] = i;
//		for (int j = i + i; j <= n; j += i)
//		{
//			st[j] = 1;
//		}
//	}
//}
//线性筛法
void get_primes(int n)
{
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!st[i])  primes[cnt++] = i;
		for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
		{
			st[primes[j] * i] = 1;
			if (i%primes[j] == 0)  break;
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	get_primes(n);
	cout << cnt << endl;
	return 0;
}