彻底搞懂平衡二叉树（AVL）建树过程（左旋、右旋）

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。

在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。

查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)，插入和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

如下图中，左测的树是AVL树，其操作效率明显高于右侧的树。

插入新节点可能会造成AVL树的失衡，应如何调整使其重新平衡呢？

首先要考虑所有不平衡的情形。

不平衡的情形：考虑3层，归为4类

新节点的插入位置有很多可能，怎么对不平衡的情形归类呢，或者说需要考虑多深的范围呢？

考虑三层高度即可。

下图中，假设对根(10)的左儿子(6)的左子树（4）进行一次插入，无论插入位置是左（插入2）还是右（插入5），都可以通过一次右旋转（顺时针旋转）完成平衡：

所以对根的左儿子的左子树进行一次插入后破坏平衡，都可归类为“左左”情况。

根据这样的思路，假设需要重新平衡的结点为α，可将所有可能归类为4种情况：

1.对α的左儿子的左子树进行一次插入（左左）

2.对α的左儿子的右子树进行一次插入（左右）

3.对α的右儿子的左子树进行一次插入（右左）

4.对α的右儿子的右子树进行一次插入（右右）

由于对称性，1、4和2、3是两组镜像问题，只要重点解决一侧的即可。下面考虑左左和左右的情况。

LL（左左）

速记方法：犯了两次左倾错误，需要一次右旋纠正。

在子树T0上添加新节点后，根节点g的左右子树失衡，g->T0 比 g->T3 深度多了2。

需对g节点执行一次右旋转，具体步骤为：

g.left = p.right;  //g的左孩子指向p的右孩子
p.right = g;  //g变成p的右孩子
root = p;  //p作为新的根

LR（左右）

速记方法：犯了一次左倾错误和一次右倾错误，先左旋纠正右倾，再右旋纠正左倾。

在子树T2上添加新节点后，根节点g的左右子树失衡，g->T2 比 g->T3 深度多了2。

这时先对p节点执行一次左旋转（虽然以p为根的树平衡并未打破，但这是必要的准备工作），具体步骤为：

p.right = n.left;  //p的左孩子指向n的右孩子
n.left = p;  //p变成n的左孩子
root = n;  //n作为子树新的根

经过一次左旋后，g的左孩子的左子树“过重”失衡了，可以归于“左左”的情形。（假设新节点插入位置是子树T1，左旋后仍是“左左”的情况）

再对g节点执行一次右旋转即可重新平衡：

g.left = p.right;  //g的左孩子指向p的右孩子
p.right = g;  //g变成p的右孩子
root = p;  //p作为新的根

RR（右右）

左左的镜像问题。

只需对g执行一次左旋（逆时针旋转）：

g.right = p.left;  //g的右孩子指向p的左孩子
p.left = g;  //g变成p的左孩子
root = p;  //p作为新的根

RL（右左）

左右的镜像问题。

先对p节点执行一次右旋转：

p.left = n.right;  //p的右孩子指向n的左孩子
n.right = p;  //p变成n的右孩子
root = n;  //n作为子树新的根

再对g节点执行一次左旋转即可重新平衡：

g.right = p.left;  //g的右孩子指向p的左孩子
p.left = g;  //g变成p的左孩子
root = p;  //p作为新的根

代码实现

这里参考柳神的代码（本人写不出更漂亮的了…），输入一系列节点值，输出为根的值：

#include 
using namespace std;
struct node {
    int val;
    struct node *left, *right;
};
node *rotateLeft(node *root) {
    node *t = root->right;
    root->right = t->left;
    t->left = root;
    return t;
}
node *rotateRight(node *root) {
    node *t = root->left;
    root->left = t->right;
    t->right = root;
    return t;
}
node *rotateLeftRight(node *root) {
    root->left = rotateLeft(root->left);
    return rotateRight(root);
}
node *rotateRightLeft(node *root) {
    root->right = rotateRight(root->right);
    return rotateLeft(root);
}
int getHeight(node *root) {
    if(root == NULL) return 0;
    return max(getHeight(root->left), getHeight(root->right)) + 1;
}
node *insert(node *root, int val) {
    if(root == NULL) {
        root = new node();
        root->val = val;
        root->left = root->right = NULL;
    } else if(val < root->val) {
        root->left = insert(root->left, val);
        if(getHeight(root->left) - getHeight(root->right) == 2)
            root = val < root->left->val ? rotateRight(root) : rotateLeftRight(root);
    } else {
        root->right = insert(root->right, val);
        if(getHeight(root->left) - getHeight(root->right) == -2)
            root = val > root->right->val ? rotateLeft(root) : rotateRightLeft(root);
    }
    return root;
}
int main() {
    int n, val;
    scanf("%d", &n);
    node *root = NULL;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &val);
        root = insert(root, val);
    }
    printf("%d", root->val);
    return 0;
}

参考资料

平衡二叉树详解

平衡二叉搜索树

AVL树的详细实现

1066. Root of AVL Tree (25)-PAT甲级真题