卡特兰(Catalan)数入门详解

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基本概念

介绍

学卡特兰数我觉得可能比组合数要难一点，因为组合数可以很明确的告诉你那个公式是在干什么，而卡特兰数却像是在用大量例子来解释什么时卡特兰数
这里，我对卡特兰数做一点自己的理解
卡特兰数是一个在组合数学里经常出现的一个数列，它并没有一个具体的意义，却是一个十分常见的数学规律

对卡特兰数的初步理解：有一些操作，这些操作有着一定的限制，如一种操作数不能超过另外一种操作数，或者两种操作不能有交集等，这些操作的合法操作顺序的数量

为了区分组合数，这里用$f_n$表示卡特兰数的第$n$项
从零开始，卡特兰数的前几项为$1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790\dots$

定义

递归定义

$f_n=f_0\ast f_{n-1}+f_1\ast fn-2+\dots +f_{n-1}{f}_0$，其中$n\ge 2$

递推关系

$f_n=\frac{4n-2}{n+1}{f}_{n-1}$

通项公式

$f_n=\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n$

经化简后可得

$f_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

只要我们在解决问题时得到了上面的一个关系，那么你就已经解决了这个问题，因为他们都是卡特兰数列

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实际问题

先用一个最经典的问题来帮助理解卡特兰数
去掉了所有的掩饰，将问题直接写出来就是

例题1

在一个$w\times h$的网格上，你最开始在$\left(0,0\right)$上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到$\left(n,m\right),0\le n$有多少种不同的合法路径。

合法路径个数为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

直接求不好，考虑求有多少种不合法路径
路径总数为在$2n$次移动中选$n$次向上移动，即$C_{2n}^n$

画一下图，我们把$y=x+1$这条线画出来，发现所有的合法路径都是不能碰到这条线的，碰到即说明是一条不合法路径
先随便画一条碰到这条线的不合法路径，所有的不合法路径都会与这条线有至少一个交点，我们把第一个交点设为$\left(a,a+1\right)$
如图

我们把$\left(a,a+1\right)$之后的路径全部按照$y=x+1$这条线对称过去
这样，最后的终点就会变成$\left(n-1,n+1\right)$

由于所有的不合法路径一定会与$y=x+1$有这么一个交点
我们可以得出，所有不合法路径对称后都唯一对应着一条到$\left(n-1,n+1\right)$的路径
且所有到$\left(n-1,n+1\right)$的一条路径都唯一对应着一条不合法路径（只需将其对称回去即可）
所以不合法路径总数是$C_{2n}^{n-1}$

那么合法的路径总数为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

这是一个非常好用且重要的一个方法，其它的问题也可以用该方法解决
即找到不合法路径唯一对应的到另一个点的路径
如网格计数

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方法

先将方法写在前面吧
相信大家都听过烧开水这个数学小故事吧
和学习数学一样，转化是基本思路，将一个问题转化为另外一个已经解决了的问题是最重要的

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01序列

你现在有$n$个$0$和$n$个$1$，问有多少个长度为$2n$的序列，使得序列的任意一个前缀中$1$的个数都大于等于$0$的个数
例如$n=2$时
有$1100,1010$两种合法序列
而$1001,0101,0110,0011$都是不合法的序列

合法的序列个数为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

我们把出现一个$1$看做向右走一格，出现一个$1$看做向上走一格，那么这个问题就和上面的例题$1$一模一样了

拓展
如果是$n$个$1,m$个$0$呢？
不过是最后的终点变为了$\left(n,m\right)$罢了
如果是$1$的个数不能够比$m$少$k$呢
我们只需将$y=x+1$这条线上下移动即可

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括号匹配

你有$n$个左括号，$n$个右括号，问有多少个长度为$2n$的括号序列使得所有的括号都是合法的

合法的序列个数为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

要使所有的括号合法，实际上就是在每一个前缀中左括号的数量都不少于右括号的数量
将左括号看做$1$，右括号看做$0$，这题又和上面那题一模一样了

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进出栈问题

有一个栈，我们有$2n$次操作，$n$次进栈，$n$次出栈，问有多少中合法的进出栈序列

合法的序列个数为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

要使序列合法，在任何一个前缀中进栈次数都不能少于出栈次数$\dots$
后面就不用我说了吧，和上面的问题又是一模一样的了

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312排列

一个长度为$n$的排列$a$，只要满足$i<j<k$且$a_j<a_k<a_i$就称这个排列为$312$排列
求$n$的全排列中不是$312$排列的排列个数

答案也是卡特兰数

我们考虑$312$排列有什么样的特征
如果考虑一个排列能否被$1,2,3,\dots ,n-1,n$排列用进栈出栈来表示
那么$312$排列就是所有不能被表示出来的排列
那么这个问题就被转化成进出栈问题了

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不相交弦问题

在一个圆周上分布着 $2n$个点，两两配对，并在这两个点之间连一条弦，要求所得的$2n$条弦彼此不相交的配对方案数
当$n=4$时，一种合法的配对方案为如图

合法的序列个数为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

这个问题没有上面的问题那么显然，我们规定一个点为初始点，然后规定一个方向为正方向
如规定最上面那个点为初始点，逆时针方向为正方向
然后我们把一个匹配第一次遇到的点（称为起点）旁边写一个左括号$($，一个匹配第二次遇到的点（称为终点）旁边写一个右括号$)$
如图

看出来吗，在规定了这样的一个顺序后，在任意一个前缀中起点的个数都不能少于终点的个数
于是这又是一个卡特兰数列了

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二叉树的构成问题

有$n$个点，问用这$n$个点最终能构成多少二叉树

答案仍然是卡特兰数列

这个问题不是用上面的方法，是用递归定义的卡特兰数

一个二叉树分为根节点，左子树，右子树
其中左子树和右子树也是二叉树，左右子树节点个数加起来等于$n-1$
设$i$个点能构成$f_i$个二叉树
我们枚举左子树有几个点可得
$f_n=f_0\ast f_{n-1}+f_1\ast f_{n-2}+\dots +f_{n-1}\ast f_0$
这个和卡特兰数列的递归定义是一模一样的

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凸多边形的三角划分

一个凸的$n$边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案

答案还是卡特兰数列

我们在凸多边形中随便挑两个顶点连一条边，这个凸多边形就会被分成两个小凸多边形，由于每条直线不能相交，接下来我们就只要求这两个小凸多边形的划分方案然后乘起来即可

和二叉树的构成问题一样，我们枚举大凸多边形被分成的两个小凸多边形的大小即可

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阶梯的矩形划分

一个阶梯可以被若干个矩形拼出来
图示是两种划分方式

像下图是不合法的划分方式

问，一个$n$阶矩形有多少种矩形划分

答案仍然是卡特兰数列

我们考虑阶梯的每个角

如图

每个角一定是属于不同的矩形的，我们考虑和左下角属于一个矩形的是哪个角
这个矩形将这个梯形又分成两个小梯形，如图

于是我们又可以写出递推式了
和卡特兰数列的递归式是一样的

卡特兰数就讲这么多吧

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